漸伸線
漸伸線(involute)(或稱漸開線(evolvent))和漸屈線(evolute)是曲線的微分幾何上互為表裡的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線,曲線B是曲線A的漸屈線。
在曲線上選一定點S。有一動點P由S出發沿曲線移動,選在P的切線上的Q,使得曲線長SP 和直線段長PQ 相同。漸伸線就是Q的軌跡。
若曲線B有參數方程,其中,曲線A的方程為。
曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。
若該曲線有參數方程(),則其漸屈線為
- 。
每條曲線可有無窮多條漸伸線,但只有一條漸屈線。
漸屈線 | 漸伸線 |
---|---|
懸鏈線 | 曳物線 |
圓內螺線/外擺線 | 相似的圓內螺線/外擺線 |
擺線 | 相同的擺線 |
半立方拋物線 | 拋物線 |
參數化曲線
漸開線方程曲線的參數化定義的函數( x(t) , y(t) ) 是:
範例
圓的漸伸線
圓的漸伸線會形成一個類似阿基米德螺線的圖形.
- 在笛卡兒坐標系中,一個圓的漸開線的參數方程可以寫成:
其中是圓的半徑,為參數
- 在 極坐標系中, 一個圓的漸開線的參數方程可以寫成:
其中 是圓的半徑 為參數
通常,一個圓的漸開線常被寫成寫成:
- .
歐拉建議使用圓的漸開線作為齒輪的形狀, 這個設計普遍存在於目前使用,稱為漸開線齒輪。
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