潤德勒座標
相對論中,「雙曲加速參考系」[H 1][1]座標構成了平直閔考斯基時空中重要且有用的座標卡系統。[2][3][4][5]狹義相對論中,一均勻加速的物體進行所謂的雙曲運動;在其固有參考系中,該物體是靜止的。這現象可與均勻重力場相應。關於平直時空中之加速度的一般性論述,參見狹義相對論中的加速度。
本文中,光速定義為c = 1,慣性座標系為(X,Y,Z,T),雙曲座標系則為(x,y,z,t)。這類雙曲座標系可主要分為兩大類,與加速觀察者位置有關:若觀察者時間T = 0時位在X = 1/α(其中α為常數值的固有加速度,由共動的加速規測得),則雙曲座標系稱為「潤德勒座標」(或譯林德勒座標;英語:),與之相應的是「潤德勒度規」(Rindler metric)[6]若觀察者時間T = 0時位在X = 0,則雙曲座標系有時稱為「穆勒座標」(Møller coordinates)[1]或「寇特勒-穆勒座標」(Kottler-Møller coordinates),與之相應的是「寇特勒-穆勒度規」(Kottler-Møller metric)。[7]透過採用雷達座標[8],可得到一常與雙曲運動觀察者有關的替代座標卡(Chart)。雷達座標有時也稱作「拉斯座標」(Lass coordinates)[9][10] 寇特勒-穆勒座標以及拉斯座標也常標示為潤德勒座標。[11]
關於潤德勒座標的歷史,這樣的座標系在狹義相對論發表不久後即被引入,在研究雙曲運動此一概念的同時也被研究:與平直閔考斯基時空的關係如阿爾伯特·愛因斯坦(1907年,1912年)[H 2]、馬克斯·玻恩(1909年)[H 1]、阿諾·索末菲(1910年)[H 3]、馬克斯·馮·勞厄(1911年)[H 4]、亨德里克·勞侖茲(1913年)[H 5]、弗里德里希·寇特勒(1914年)[H 6]、沃夫岡·包立(1921年)[H 7]、Karl Bollert(1922年)[H 8]、Stjepan Mohorovičić(1922年)[H 9]、喬治·勒梅特(1924年)[H 10]、愛因斯坦與納森·羅森(1935年)[H 2]、Christian Møller(1943年,1952年)[H 11]、Fritz Rohrlich(1963年)[12]、哈利·拉斯(1963年)[13];與廣義相對論中平直或彎曲時空的關聯性:沃夫岡·潤德勒(1960年,1966年)[14][15]。
潤德勒參考系的特徵
以沿-direction方向、常數值固有加速度進行雙曲運動的物體,其世界線為原時以及快度的函數,關係式為:[16]
- 。
其中為常數,為變數。這樣的世界線形態為雙曲線。阿諾·索末菲[H 3][17]展示了此方程組可重新表示為:為變數,而為常數;如此可表現出共動觀察者所測量到雙曲運動物體的「靜止型態」。設定,也就是採用了觀察者的原時作為整體雙曲加速參考系的時間,則慣性座標與雙曲座標之間的轉換式變為:[6][9]
-
(
)
逆轉換式為:
-
(
)
參考文獻
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- 舉例而言,Birrill & Davies (1982), pp. 110-111或Padmanabhan (2010), p. 126將方程式(2g, 2h)標示為潤德勒座標或潤德勒參考系;Tilbrook (1997) pp. 864-864 or Jones & Wanex (2006)將方程式(2a, 2b)標示為潤德勒座標。
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