潤德勒座標

相對論中,「雙曲加速參考系」[H 1][1]座標構成了平直閔考斯基時空中重要且有用的座標卡系統。[2][3][4][5]狹義相對論中,一均勻加速的物體進行所謂的雙曲運動;在其固有參考系中,該物體是靜止的。這現象可與均勻重力場相應。關於平直時空中之加速度的一般性論述,參見狹義相對論中的加速度

本文中,光速定義為c = 1慣性座標系(X,Y,Z,T),雙曲座標系則為(x,y,z,t)。這類雙曲座標系可主要分為兩大類,與加速觀察者位置有關:若觀察者時間T = 0時位在X = 1/α(其中α為常數值的固有加速度,由共動的加速規測得),則雙曲座標系稱為「潤德勒座標」(或譯林德勒座標英語:),與之相應的是「潤德勒度規」(Rindler metric)[6]若觀察者時間T = 0時位在X = 0,則雙曲座標系有時稱為「穆勒座標」(Møller coordinates)[1]或「寇特勒-穆勒座標」(Kottler-Møller coordinates),與之相應的是「寇特勒-穆勒度規」(Kottler-Møller metric)。[7]透過採用雷達座標[8],可得到一常與雙曲運動觀察者有關的替代座標卡(Chart)。雷達座標有時也稱作「拉斯座標」(Lass coordinates)[9][10] 寇特勒-穆勒座標以及拉斯座標也常標示為潤德勒座標。[11]

關於潤德勒座標的歷史,這樣的座標系在狹義相對論發表不久後即被引入,在研究雙曲運動此一概念的同時也被研究:與平直閔考斯基時空的關係如阿爾伯特·愛因斯坦(1907年,1912年)[H 2]馬克斯·玻恩(1909年)[H 1]阿諾·索末菲(1910年)[H 3]馬克斯·馮·勞厄(1911年)[H 4]亨德里克·勞侖茲(1913年)[H 5]弗里德里希·寇特勒(1914年)[H 6]沃夫岡·包立(1921年)[H 7]、Karl Bollert(1922年)[H 8]、Stjepan Mohorovičić(1922年)[H 9]喬治·勒梅特(1924年)[H 10]、愛因斯坦與納森·羅森(1935年)[H 2]、Christian Møller(1943年,1952年)[H 11]、Fritz Rohrlich(1963年)[12]哈利·拉斯(1963年)[13];與廣義相對論中平直或彎曲時空的關聯性:沃夫岡·潤德勒(1960年,1966年)[14][15]

潤德勒參考系的特徵

潤德勒圖卡(Rindler chart),方程式(1a)中,繪於閔考斯基圖上。虛線為潤德勒視界(Rindler horizons)。

以沿-direction方向、常數值固有加速度進行雙曲運動的物體,其世界線為原時以及快度的函數,關係式為:[16]

其中為常數,變數。這樣的世界線形態為雙曲線阿諾·索末菲[H 3][17]展示了此方程組可重新表示為:為變數,而為常數;如此可表現出共動觀察者所測量到雙曲運動物體的「靜止型態」。設定,也就是採用了觀察者的原時作為整體雙曲加速參考系的時間,則慣性座標與雙曲座標之間的轉換式變為:[6][9]

 

 

 

 

(1a)

逆轉換式為:

對其微分並代入閔考斯基度規,則雙曲加速系的度規張量

 

 

 

 

(1b)

參考文獻

  1. Øyvind Grøn. . Lecture Notes in Physics 772 (Springer). 2010: 86–91. ISBN 0387881344.
  2. Misner, C. W.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. . Freeman. 1973. ISBN 0716703440.
  3. Kopeikin,S., Efroimsky, M., Kaplan, G. . John Wiley & Sons. 2011. ISBN 3527408568.
  4. Padmanabhan, T. . Cambridge University Press. 2010. ISBN 1139485393.
  5. N. D. Birrell, P. C. W. Davies. . Cambridge Monographs on Mathematical Physics (Cambridge University Press). 1982. ISBN 1107392810.
  6. Leonard Susskind, James Lindesay. . World Scientific. 2005: 8-10. ISBN 9812561315.
  7. Muñoz, Gerardo; Jones, Preston. . American Journal of Physics. 2010, 78 (4): 377–383. arXiv:1003.3022. doi:10.1119/1.3272719.
  8. Minguzzi, E. . Americam Journal of Physics. 2005, 73: 1117–1121. arXiv:physics/0412024. doi:10.1119/1.2060716.
  9. David Tilbrook. . Australian Journal of Physics. 1997, 50 (5): 851–868. doi:10.1071/P96111.
  10. Jones, Preston; Wanex, Lucas F. . Foundations of Physics Letters. 2006, 19 (1): 75–85. arXiv:physics/0604025. doi:10.1007/s10702-006-1850-3.
  11. 舉例而言,Birrill & Davies (1982), pp. 110-111或Padmanabhan (2010), p. 126將方程式(2g, 2h)標示為潤德勒座標或潤德勒參考系;Tilbrook (1997) pp. 864-864 or Jones & Wanex (2006)將方程式(2a, 2b)標示為潤德勒座標。
  12. Rohrlich, Fritz. . Annals of Physics. 1963, 22 (2): 169–191. doi:10.1016/0003-4916(63)90051-4.
  13. Harry Lass. . American Journal of Physics. 1963, 31 (4): 274–276. doi:10.1119/1.1969430.
  14. Rindler, W. . Physical Review. 1960, 119 (6): 2082–2089. doi:10.1103/PhysRev.119.2082.
  15. Rindler, W. . American Journal of Physics. 1966, 34 (12): 1174–1178. doi:10.1119/1.1972547.
  16. Pauli, Wolfgang, , Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften, 1921, 5 (2): 539–776
    In English: Pauli, W. . Fundamental Theories of Physics 165 (Dover Publications). 1981 [1921]. ISBN 0-486-64152-X.
  17. von Laue, M. fourth edition of "Das Relativitätsprinzip”. Vieweg. 1921.; First edition 1911, second expanded edition 1913, third expanded edition 1919.
  18. Møller, C. . Oxford Clarendon Press. 1955 [1952].
  19. Desloge, Edward A.; Philpott, R. J. . American Journal of Physics. 1987, 55 (3): 252–261. doi:10.1119/1.15197.
  20. Dolby, Carl E.; Gull, Stephen F. . American Journal of Physics. 2001, 69 (12): 1257–1261. arXiv:gr-qc/0104077. doi:10.1119/1.1407254.
  21. Massimo Pauri, Michele Vallisneri. . Foundations of Physics Letters. 2000, 13 (5): 401–425. arXiv:gr-qc/0006095. doi:10.1023/A:1007861914639.
  22. Don Koks. . Springer. 2006: 235-269. ISBN 0387309438.
  23. Blum, A. S., Renn, J., Salisbury, D. C., Schemmel, M., & Sundermeyer, K. . Annalen der Physik. 2012, 524 (1): A12–A13. doi:10.1002/andp.201100705.
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