盒中氣體

對於這案例，

${\displaystyle \Phi =e^{\beta (E-\mu )}\,\!}$。

積分公式(3)，粒子的能量在${\displaystyle E\,\!}$與${\displaystyle E+dE\,\!}$之間的機率，求算總機率：

${\displaystyle 1={\cfrac {2fV\beta ^{3/2}}{{\sqrt {\pi }}\,\Lambda ^{3}N_{T}}}~\int _{0}^{\infty }\,{\frac {E^{1/2}}{e^{\beta (E-\mu )}}}~dE={\cfrac {2fV\beta ^{3/2}}{{\sqrt {\pi }}\,\Lambda ^{3}N_{T}}}\,e^{\beta \mu }~\int _{0}^{\infty }\,{\frac {E^{1/2}}{e^{\beta E}}}~dE\,\!}$。

注意到

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\,{\frac {E^{1/2}}{e^{\beta E}}}~dE={\frac {1}{2\beta }}{\sqrt {\frac {\pi }{\beta }}}\,\!}$。

代入總機率公式，可以得到

${\displaystyle 1={\cfrac {2fV\beta ^{3/2}}{{\sqrt {\pi }}\,\Lambda ^{3}N_{T}}}\,e^{\beta \mu }{\frac {1}{2\beta }}{\sqrt {\frac {\pi }{\beta }}}={\cfrac {fV}{\Lambda ^{3}N_{T}}}\,e^{\beta \mu }\,\!}$。

所以，總粒子數為

${\displaystyle N_{T}={\cfrac {fV}{\Lambda ^{3}}}e^{\beta \mu }\,\!}$。

能量分佈函數是

${\displaystyle P_{E}=2{\sqrt {\frac {\beta ^{3}E}{\pi }}}~e^{-\beta E}\,\!}$，

這正是經典的馬克士威-玻茲曼分佈。

金屬裏的電子可以被視為正質量費米-狄拉克粒子。對於這案例，

${\displaystyle \Phi =e^{\beta (E-\mu )}+1\,\!}$。

積分公式(3)，粒子的能量在${\displaystyle E\,\!}$與${\displaystyle E+dE\,\!}$之間的機率，求算總機率：

${\displaystyle 1=\left({\frac {fV}{\Lambda ^{3}N_{T}}}\right)\left[-{\textrm {Li}}_{3/2}(-z)\right]\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\textrm {Li}}_{s}(z)\,\!}$是多重對數（）。

所以，總粒子數為

${\displaystyle N_{T}=\left({\frac {fV}{\Lambda ^{3}}}\right)\left[-{\textrm {Li}}_{3/2}(-z)\right]\,\!}$。

對於這案例：

${\displaystyle \Phi =e^{\beta (E-\mu )}-1\,\!}$。

設定${\displaystyle z=e^{\beta \mu }\,\!}$。積分公式(3)，粒子的能量在${\displaystyle E\,\!}$與${\displaystyle E+dE\,\!}$之間的機率，求算總機率：

${\displaystyle 1=\left({\frac {fV}{\Lambda ^{3}N_{T}}}\right){\textrm {Li}}_{3/2}(z)\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\textrm {Li}}_{s}(z)\,\!}$是多重對數函數。

所以，總粒子數為

${\displaystyle N_{T}=\left({\frac {fV}{\Lambda ^{3}}}\right){\textrm {Li}}_{3/2}(z)\,\!}$；(5)

多重對數函數必須永遠是正實數。隨著${\displaystyle z\,\!}$從${\displaystyle 0\,\!}$往${\displaystyle 1\,\!}$增加，多重對數函數也從${\displaystyle 0\,\!}$往${\displaystyle \zeta (3/2)\,\!}$增加。隨著溫度往${\displaystyle 0\,\!}$降低，${\displaystyle \Lambda \,\!}$會越變越大，一直變到等於${\displaystyle \Lambda _{c}\,\!}$。這時，${\displaystyle z=1\,\!}$。並且，

${\displaystyle N_{T}=\left({\frac {fV}{\Lambda _{c}^{3}}}\right)\zeta (3/2)\,\!}$；

其中，${\displaystyle \zeta (z)}$是黎曼ζ函數。

${\displaystyle \Lambda \,\!}$等於${\displaystyle \Lambda _{c}\,\!}$的溫度稱為臨界溫度。當溫度低於臨界溫度時，公式(5)沒有解。臨界溫度是玻色-愛因斯坦凝聚開始形成的溫度。可是前面講述的連續近似，忽略了基態。還好，這並不是很嚴重的問題，公式(5)能夠相當正確地求算出的受激態玻色子的數量。因此，

${\displaystyle N_{T}={\frac {g_{0}z}{1-z}}+\left({\frac {fV}{\Lambda ^{3}}}\right){\textrm {Li}}_{3/2}(z)\,\!}$。

這方程式右手邊添加的第一個項目是處於基態的粒子數量。這方程式在${\displaystyle 0K\,\!}$仍舊成立。若想知道更多相關資訊，請參閱條目玻色氣體。

對於零質量玻色-愛因斯坦粒子案例，

${\displaystyle \Phi =e^{\beta (E-\mu )}-1\,\!}$。

將${\displaystyle \Phi \,\!}$代入公式(4)，為了方便計算，轉換為頻率的公式：

${\displaystyle P_{\nu }~d\nu ={\frac {fV\beta ^{3}}{2\Lambda ^{3}N_{T}}}{\frac {1}{2}}~{\frac {h^{3}\nu ^{2}}{e^{(h\nu -\mu )/kT}-1}}~d\nu \,\!}$；(6)

其中，${\displaystyle \nu \,\!}$是頻率，${\displaystyle h\,\!}$是普朗克常數，${\displaystyle E=h\nu \,\!}$。

積分公式(6)，粒子的頻率在${\displaystyle \nu \,\!}$與${\displaystyle \nu +d\nu \,\!}$之間的機率，求算總機率：

${\displaystyle 1={\frac {16\,\pi V}{c^{3}h^{3}\beta ^{3}N_{T}}}\,\mathrm {Li} _{3}\left(e^{\mu /kT}\right)\,\!}$。

所以，總粒子數為

${\displaystyle N_{T}={\frac {16\,\pi V}{c^{3}h^{3}\beta ^{3}}}\,\mathrm {Li} _{3}\left(e^{\mu /kT}\right)\,\!}$。

頻譜能量密度（每單位容積單位頻率的能量）${\displaystyle U_{\nu }\,\!}$可以表達為

${\displaystyle U_{\nu }~d\nu =\left({\frac {N_{T}\,h\nu }{V}}\right)P_{\nu }~d\nu ={\frac {4\pi fh\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{(h\nu -\mu )/kT}-1}}~d\nu \,\!}$。

在一個黑體盒子裏的光子氣體是一個零質量玻色-愛因斯坦粒子。在這盒子裏，光子不停的被盒壁發射出來與吸收回去，是一個光子數量不守恆的案例。對於這案例，必須除去光子數量的約束。這造成了化學勢${\displaystyle \mu =0\,\!}$。由於光子有兩個自旋態，${\displaystyle f=2\,\!}$。代入${\displaystyle \mu \,\!}$與${\displaystyle f\,\!}$這兩個變數的值，頻譜能量密度是

${\displaystyle U_{\nu }={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}}\,\!}$。

這正是普朗克黑體輻射定律的頻譜能量密度。

熱容量的德拜模型（）是另外一種零質量玻色子氣體。德拜模型設想，在盒子內的一群聲子組成的氣體。德拜模型與普朗克模型的主要有兩點不同。第一點是聲子的速度小於光速，且有三個自由度(兩個橫波及一個縱波),第二點是盒子的每一個坐標軸的波長不能超過某最大值。所以，在相空間的積分不能積到無窮大。求得的結果不是以多重對數來表達，而是以德拜函數（）來表達。