祖暅原理

圓柱體

如果垂直轉軸切開圓柱體，設${\displaystyle r}$為半徑，可以得到橫切面面積為${\displaystyle \pi r^{2}}$的圓形。根據祖暅原理，圓柱體的體積相等於底面積相等於圓面積${\displaystyle \pi r^{2}}$、高為${\displaystyle h}$的長方體，所以半徑為${\displaystyle r}$和高為${\displaystyle h}$的圓柱體體積是${\displaystyle \pi r^{2}\cdot h}$。

垂直（上）以及（下）切開半球體和對照立體

從其中一層以垂直表面的高${\displaystyle h}$橫切半徑為${\displaystyle r}$的半球體，根據勾股定理，半徑為：

${\displaystyle r'={\sqrt {r^{2}-h^{2}}}.}$

所以橫切面面積是：

${\displaystyle \pi \cdot (r')^{2}=\pi \cdot (r^{2}-h^{2}).}$

對照立體是一個擁有與半球體相同橫切面積和高的立體，中間有一個圓錐體。高${\displaystyle h}$的對照立體環形切面有內圓周${\displaystyle r}$以及外圓周${\displaystyle h}$，其面積如下：

${\displaystyle \pi \cdot r^{2}-\pi \cdot h^{2}=\pi \cdot (r^{2}-h^{2}).}$

因此兩個立體都滿足祖暅原理並且有相同體積。對照立體的體積便是圓柱體和圓錐體體積之差，所以

${\displaystyle \pi \cdot r^{2}\cdot r-{\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot r={\frac {2}{3}}\pi \cdot r^{3}.}$

成功利用這條有名的方程計算出半球體體積，從而導出球體體積公式。