刘徽

刘徽割圆术原理的示意圖

刘徽的青朱出入图

刘徽为《九章算术》作注，于三国魏景元四年（263年）成书，[3]其中他提出用割圆术计算圆周率的方法，以内接正六邊形开始，逐次倍加邊數的方法，逐步逼近圓周率。《九章算術》僅以π=3，劉徽則计算出正192边形的面积，先得到圆周率的近似值为${\displaystyle \pi ={\frac {157}{50}}=3.14}$，和晋武库王莽铜律嘉量比较，觉得“此术微小”，于是再用圆周率捷法计算出正3072边形的面积，求得${\displaystyle \pi ={\frac {3927}{1250}}=3.1416}$[4]。作此書注時，他還依據其「割補術」為證勾股定理，另闢蹊徑作青朱出入圖。圖雖失傳，但據其「出入相補、以盈補虛」原理，後人參照書中類似方法還原了此圖。

刘徽最先提出的「牟合方蓋」圖形

劉徽的注釋兼用圖形和模型作說明，以圖形相互拼湊方法解決各種面積計算問題，相當於一般平面幾何學中所用的平移與疊合的方法；並用直截面積的方法來計算立體體積。他指出《九章算術》計算球體體積方法錯誤，并引入了「牟合方盖」（垂直相交的兩個圓柱體的共同部分的體積）这一著名的几何模型，认为只有「牟合方蓋」與球體積之比才正好等於正方形與其內切圓的面積之比，也就是：

球体积 ${\displaystyle$ :\,}  牟合方盖体积 ${\displaystyle =\pi :4\,}$

但劉徽沒有給出牟合方蓋的體積公式，所以也就得不出球體的體積公式。

《四库全书》中的《海岛算经》

《古今图书集成》中「窥望海岛之图」

劉徽並在《九章算術注》提出重差術，應用中国传统的出入相补原理，以多達4次的觀測，測量山高水深等數值。在唐代，有關重差術的注文被抽出單行，因其第一题是测量海岛高度和距离的问题，故題為《海島算經》，成为《算经十书》之一。刘徽创造的四次重差观测术，被吴文俊称为“使中国测量学达到登峰造极的地步”[5]，美国数学家弗兰克·斯委特兹赞誉这使得“中国在數學测量学的成就，超越西方约一千年”[6]。

刘徽的卓越成就受到后人的重视，宋徽宗时代为恢复数学教学制度，便追封了部分历代的天算家，其中便有刘徽。[7]

• 九章算术
• 方程
• 割圓術 (劉徽)
• 牟合方盖
• 海岛算经

• 吴文俊．《九章算术》与刘徽．北京：北京师范大学出版社，1982．
• 吴文俊．刘徽研究．西安：陕西人民教育出版社，1993．