科學模型

概念驗證模型的說明圖

概念模型是用模型來描述一個不容易用語言來描述的概念。概念模型可以用來說明一個科學理論或假說，或是驗證某個假說是否正確。好的概念模型可以清楚地說明系統運行的基本原理、排除不必要的資訊。如同實驗中的控制環境，科學模型排除多餘的變因，讓因果關係變得明顯。[10]

預測模型將已知的數據套入理論中，計算出未知數。根據預測結果可以判斷模型的正確性、協助應對未來事件、比較不同決策的優劣等等。

統計模型相當於假說和基本前提，代表的是產生數據的機制，將資料和統計模型一起放入資料分析後，可以判斷模型是否正確。但如果統計模型的某些前提不正確，可能會會推出錯誤結論。一般來說， 統計模型是一個機率密度函數，數據依據該函數產生。例如前提是各班級的學生成績是常態分佈，假說是且甲班成績低於乙班，依據學生t檢驗可以比較兩班的成績。常見的統計模型包括廣義線性模型等。

有些研究者會用許多反映不同假說的模型各自分析資料，然後用赤池信息量準則或貝葉斯信息準則等方法判斷哪一個模型「最好」，稱為模型選擇。然而最好的模型不見得最正確，例如在遇到對撞變因時，信息量準則會推薦錯誤的模型，因為在統計上控制對撞變因會讓偽關係更強，造成對撞變因被誤認為干擾變因。

推理模型（inference model）比較不同的假說和實驗方法會產生什麼樣的數據，以了解科學研究過程中，科學家究竟可以從手邊的數據分析出哪些合理的推論。

現代科學模型往往需要用到電腦，不管是計算複雜的算式、是將大量數據套入模型分析、作圖、或是電腦模擬皆然。在各領域，科學建模有許多不同模擬軟體和程式語言，也有人開發了協助建模的圖形介面。目前常見的包括Mathematica、Matlab、Python、Open Source Physics、Easy Java Simulations、 STELLA、Wolfram SystemModeler等等。

17世紀是微積分的發展時期，戈特弗里德·威廉·萊布尼茨和艾薩克·牛頓兩人幾乎同時使微積分觀念成熟，澄清微、積分之間的關係，使計算系統化，並且把微積分大規模使用到幾何與物理研究上。牛顿利用了微積分的技巧，由萬有引力及運動定律出發說明了他的宇宙體系，解决天体运动，流体旋转的表面，地球的扁率，摆线上重物的运动等问题[14]。

如今，純物理的模型大多為概念驗證模型，例如標準模型以及其他尚未確認的弦論、多重宇宙等。應用物理的模型則較多模擬和預測。

1798年馬爾薩斯提出人口的指數成長模型。

1925和1926年，洛特卡－沃爾泰拉方程，成為生態學以及演化生物學描述生物互動的基礎。之後Kermack–McKendrick theory為流行病學的分室系統方法打下基礎。1945年，萊斯利矩陣將不同年齡的生殖和存活率列入考慮，用線性代數更詳盡地描述生物族群的成長。

1906年的馬可夫鏈描述離散狀態、離散時間的隨機轉換。

1908年和1909年的哈溫平衡描述不同基因型在族群中的基因頻率，是遺傳學的基礎。卡爾·皮爾森和法蘭西斯·高爾頓等人開始發展生物統計學，之後羅納德·費雪、休厄爾·賴特、JBS·霍爾丹等人計算生物基因或性狀在族群中的分佈，促生現代演化綜論，包括族群遺傳學、計量遺傳學等各種模型。因為基因頻率和機率的關係密不可分，許多模型描述的是隨機過程，例如描述遺傳漂變的賴特-費雪模型和Moran模型。

供給與需求的模型解釋了產品的數量和需求間的互動。圖中解釋從D₁到D₂的需求移動，會連帶地使得產品的供給數量和價格提高，如此一來才能達到新的均衡點。

供給和需求的概念早在中世紀一些穆斯林經濟學家即有[15]。在歐洲的學術界，1767年詹姆士·斯图亚特、1776年亞當·斯密、1817年李嘉圖都有使用[16]。1838年法國數學家古諾首先發展一個數學化的供需模型。

19世紀晚期邊際效用學派興起，這個學派以英國經濟學家傑文斯、奧地利經濟學家門格爾和法國經濟學家瓦爾拉斯爲首。他們理論的共同點是價格是由生產決策的邊際價格決定。這是自從亞當·斯密關於如何決定供給價格的思想以來一個非常重要的改變。1870年作者弗萊明·詹金（Fleeming Jenkin）首先在論文裏繪出第一條供給曲線和需求曲線[17]，包括使用比較靜態的辦法研究供給和需求在勞動市場的應用[18] 。這個模型後來被馬歇爾在其1890年的教科書著作《經濟學原理》（Principles of Economics）進一步發展及普及[16]。

对于博弈论的研究开始于1913年的恩斯特·策梅洛、後經埃米尔·博雷尔、冯·诺伊曼和奥斯卡·摩根斯坦，在1940年代系统化和形式化。随后约翰·福布斯·纳什利用不动点定理证明了均衡点的存在，为博弈论的一般化奠定了坚实的基础。纳什和约翰·C·海萨尼及萊因哈德·澤爾騰因为他们对博弈论的贡献而获得1994年的諾貝爾經濟學獎。罗伯特·J·奥曼、肯·宾摩尔、戴维·克瑞普斯及阿里尔·鲁宾斯坦也對博弈论做出重大貢獻。

1970年代，約翰·梅納德·史密斯和喬治·普萊斯將賽局理論應用到生物學上，建立演化均衡策略的概念。

電腦的發展對科學模型有重要的貢獻，許多本來過於困難或花時間的計算都因為電腦而得以進行。1940年代發展的蒙地卡羅方法用亂數來解決很多計算問題，例如和馬可夫鏈結合後處理貝氏統計模型。硬體的升級以及平行運算等技術則讓大數據得以發展。機器學習甚至讓模型的複雜度超過人類可以理解的範圍。

電腦的快速運算促成許多仰賴模擬的科學模型，例如強調個體差異的個體為本模擬為生態學作出重大貢獻。氣象預報模型則描述難以用有限的數學公式推算的複雜系統。透過模擬有機化學的各種機制，電腦模擬也用在找尋新藥物[19]以及晶片設計。

1971年，Schelling用個體為本模型說明為什麼即使人們沒有種族主義傾向，居住區域也可能發生種族隔離，是最早將科學模型用在心理學的例子之一[20]。現在，科學模型、質化研究、量化研究、訪問、和文本分析是心理學的五大研究方法[21]。

科學模型也廣泛應用在認知科學，例如用電腦模擬幾種不同的規則來判斷語句應如何發生閩南語連續變調，以研究語言學習的認知過程[22]。