立方和

驗證此公式，可透過因式分解，首先運用環的原理，設以下公式：

${\displaystyle a^{2}b-a^{2}b+ab^{2}-ab^{2}=0\,\!}$

然後代入：

${\displaystyle =a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}$

透過因式分解，可得：

${\displaystyle =a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

${\displaystyle =(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

這樣便可驗證：${\displaystyle a^{3}+b^{3}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$

透過和立方可驗證立方和的原理：

${\displaystyle (x+y)^{3}\,\!}$

${\displaystyle =x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!}$

那即是只要減去${\displaystyle 3x^{2}y}$及${\displaystyle 3xy^{2}}$便可得到立方和，可設：

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!}$

右邊的方程 ${\displaystyle =(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!}$

運用因式分解的方法：

${\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!}$

${\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!}$

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!}$

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$

這樣便可驗證出：${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$

圖象化${\displaystyle a^{3}+b^{3}}$

透過繪立體的圖像，也可驗證立方和。[2] 根據右圖，設兩個立方，總和為：

${\displaystyle x^{3}+y^{3}\,\!}$

把兩個立方體對角貼在一起，根據虛線，可間接得到：

${\displaystyle (x+y)^{3}\,\!}$

要得到${\displaystyle x^{3}+y^{3}}$，可使用${\displaystyle (x+y)^{3}}$的空白位置。該空白位置可分割為3個部分：

• ${\displaystyle x\times y\times (x+y)}$
• ${\displaystyle x\times (x+y)\times y}$
• ${\displaystyle (x+y)\times y\times x}$

把三個部分加在一起，便得：

${\displaystyle =xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)\,\!}$

${\displaystyle =3xy(x+y)\,\!}$

之後，把${\displaystyle (x+y)^{3}}$減去它，便得： ${\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!}$ 上公式發現兩個數項皆有一個公因子，把它抽出，並得：

${\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!}$

${\displaystyle (x+y)^{2}}$可透過和平方公式，得到：

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!}$

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$

這樣便可證明${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$

透過${\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$也可反驗證立方和。

${\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

${\displaystyle =a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

${\displaystyle =a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}$

${\displaystyle =a^{3}+b^{3}\,\!}$

以上計算方法亦可簡化為一個表格：

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$

x)	${\displaystyle +a^{2}}$	${\displaystyle -ab}$	${\displaystyle +b^{2}}$
${\displaystyle +a}$	${\displaystyle +a^{3}}$	${\displaystyle -a^{2}b}$	${\displaystyle +ab^{2}}$
${\displaystyle +b}$	${\displaystyle +a^{2}b}$	${\displaystyle -ab^{2}}$	${\displaystyle +b^{3}}$

這樣便可證明${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$