範數 (域論)

設${\displaystyle K}$ 為域，${\displaystyle L}$ 是${\displaystyle K}$ 的有限代數擴張。將${\displaystyle \alpha }$ 與${\displaystyle L}$ 的一個元素相乘，是一個線性變換：

${\displaystyle m_{\alpha }:L\to L}$

在域論，範數是一種映射。

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$ 定義為${\displaystyle m_{\alpha }}$ 的行列式。

因此可得${\displaystyle N_{L/K}}$ 的性質：

• ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )\in K\forall \alpha \in L}$
• ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha \beta )=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )}$

若${\displaystyle L/K}$ 為伽羅瓦擴張，${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$ 是${\displaystyle \alpha }$ 所有共軛的積，即是${\displaystyle \alpha }$ 的極小多項式的所有根的積。

代數整數的範數仍是代數整數。

在代數數論亦可為理想定義範數。若${\displaystyle I}$ 是代數數域${\displaystyle K}$ 的整數域${\displaystyle O_{k}}$ 中的理想，${\displaystyle N(I)}$ 是${\displaystyle O_{k}/I}$ 的剩餘類的數目。