粒子衰變

作為例子，一粒子衰變成三粒子時的相空間元如下：

${\displaystyle d\Phi _{3}={\frac {1}{(2\pi )^{9}}}\delta ^{4}(P-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\frac {d^{3}{\vec {p}}_{1}}{2E_{1}}}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{2}}{2E_{2}}}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{3}}{2E_{3}}}\,}$

在所有衰變及粒子相互作用中，四維動量都必須守恆，因此始態p_i 與終態p_f 的關係為

${\displaystyle p_{\mathrm {i} }=p_{\mathrm {f} }}$。

設母粒子質量為M，衰變成兩粒子（標記為1和2），那麼四維動量的守恆條件則為

${\displaystyle p_{M}=p_{1}+p_{2}}$。

整理可得，

${\displaystyle p_{M}-p_{1}=p_{2}}$

然後取左右兩邊的平方

${\displaystyle p_{M}^{2}+p_{1}^{2}-2p_{M}p_{1}=p_{2}^{2}}$。

現在要用的正是四維動量的定義——方程(1)，展開各p² 得

${\displaystyle M^{2}+m_{1}^{2}-2\left(E_{M}E_{1}-{\vec {p}}_{M}\cdot {\vec {p}}_{1}\right)=m_{2}^{2}.\quad \quad \quad \quad (2)\,}$

若進入母粒子的靜止系，則

• ${\displaystyle {\vec {p}}_{M}=0\,}$，及
• ${\displaystyle E_{M}=M\,}$

將上述兩式代入方程(2)得：

${\displaystyle M^{2}+m_{1}^{2}-2ME_{1}=m_{2}^{2}.\,}$

整理後得粒子1於母粒子靜止系中的能量公式，

${\displaystyle E_{1}={\frac {M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2M}}.\quad \quad \quad \quad (3)\,}$

同樣地，粒子2在母粒子在靜止系中的能量為

${\displaystyle E_{2}={\frac {M^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2M}}}$。

可得

${\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p}}_{2}|={\frac {\sqrt {\left[M^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right]\left[M^{2}-\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}\right]}}{2M}}.\,}$

先把${\displaystyle E_{1}^{2}=m_{1}^{2}+{\vec {p}}_{1}^{2}\,}$ 代入方程(3)：

${\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {(M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}-4m_{1}^{2}M^{2}}{4M^{2}}}\,}$

${\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{4}+m_{1}^{4}+m_{2}^{4}-2m_{1}^{2}M^{2}-2m_{2}^{2}M^{2}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}}{4M^{2}}}\,}$

${\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{4}-M^{2}(m_{1}+m_{2})^{2}-M^{2}(m_{1}-m_{2})^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}}{4M^{2}}}\,}$

${\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{2}\left[M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2}\right]-(m_{1}+m_{2})^{2}\left[M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2}\right]}{4M^{2}}}\,}$

${\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|={\frac {\sqrt {\left[M^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right]\left[M^{2}-\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}\right]}}{2M}}.\,}$

${\displaystyle |{\vec {p}}_{2}|\,}$的推導也一樣。

在實驗室系中發射粒子的角度，與質心系時的關係由下式表示：

${\displaystyle \tan {\theta '}={\frac {\sin {\theta }}{\gamma \left(\beta /\beta '+\cos {\theta }\right)}}}$

設一母粒子質量為M ，衰變成兩粒子，標記為1和2。那麼在母粒子的靜止系中，

${\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p_{2}}}|={\frac {[(M^{2}-(m_{1}+m_{2})^{2})(M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2})]^{1/2}}{2M}}}$。

另外，用球座標表示則為

${\displaystyle d^{3}{\vec {p}}=|p|^{2}\,dpd\Omega =p^{2}\,d\phi \,d\left(\cos \theta \right)}$。

已知二體衰變的相空間元（見上文#衰變率一節，n=2），得母粒子參考系中的衰變率為：

${\displaystyle d\Gamma ={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}{\frac {|{\vec {p}}_{1}|}{M^{2}}}\,d\phi _{1}\,d\left(\cos \theta _{1}\right)}$。