约翰逊-林登斯特劳斯定理

约翰逊-林登斯特劳斯定理揭示了一些关于降维映射深刻事实，其中一些还是违反简单直觉的[8]。因此，要想直观地理解这个定理，对初学者来说，可能比从数学式子上读懂证明还要难(反而此定理的证明只用到了比较简单的关于投影的随机误差不等式[9])。举例来说，定理的结论表明，度量形变程度的误差参数${\displaystyle \epsilon }$以及低维空间的维数${\displaystyle n}$这两个度量降维水准的关键量，均与原始数据所在的空间维数${\displaystyle N}$或者原始的${\displaystyle m}$个点具体为何种空间结构无关，这是很不平凡的[9]。

约翰逊-林登斯特劳斯定理是不能被本质性地改进的[10]，即：给定任意正整数${\displaystyle m}$和误差参数${\displaystyle \epsilon }$，存在某个${\displaystyle N}$以及${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$中的${\displaystyle m}$个点，这个点集“难以降维”——也就是说，对任何一个满足“基本保持点距”要求(即：${\displaystyle (1-\epsilon )\|x_{i}-x_{j}\|_{2}^{2}\leq \|f(x_{i})-f(x_{j})\|_{2}^{2}\leq (1+\epsilon )\|x_{i}-x_{j}\|_{2}^{2}}$要对任意${\displaystyle (i,j):1\leq i<j\leq n}$成立)的线性映射${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} ^{n}}$，它用来镶嵌高维数据的那个低维空间(即${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$)，至少必须具有

${\displaystyle n=\Omega \left({\frac {\log m}{\epsilon ^{2}}}\right)}$

这么多的维数[11]。

定理可以用高年级本科生容易理解的方法证明[7][12]，其思路是证明如下事实：多次独立地重复进行随机投影的试验，每次试验中随机抽取的投影${\displaystyle f_{0}:\mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} ^{n}}$都有至少${\displaystyle 1/n}$的概率符合定理中对映射${\displaystyle f}$全部的要求(显然，验证任何一个${\displaystyle f_{0}}$是否符合这些要求只需${\displaystyle O(n^{2})}$时间)，因此只要重复该独立实验${\displaystyle \omega (n)}$次就能以逼近100%的概率产生至少一个符合要求的映射${\displaystyle f}$。