线性变参数控制

• 增益规划有個重大的缺点：在设计操作点外的操作条件，不一定可以获得足够的性能，甚至有些连稳定性都无法保证[1]。
• 多变量控制器的规划常常是乏味且费时的工作，尤其是在航空航天的控制中更是如此。在航空航天中，为了在更高的气动包线上获得更好的性能，参数的改变十分巨大。
• 另一点很重要的是，選定的规划變數反映了在飛行條件變化時，飛行動力學上的變化，有可能利用增益规划將線性鲁棒控制的方法論整合到非線性控制設計中，不過設計過程不會明確的提到全域穩定性、鲁棒性以及其性能特性。

增益规划的方式很簡單，而且線性化增益规划的計算量遠小於其他的非線性設計方式，不過其先天的缺點超過其優點，因此需要一個動態系統控制的新作法。像以人工神经网络（ANN）及模糊逻辑為基礎的適應控制試圖要解決這些問題，不過因為缺乏針對整個操作參數範圍內，租定性以及性能的證明，因此需要一種可以確保其特性的，和參數相關的控制器。

在控制工程中，狀態空間表示法是物理系統的数学模型，由有許多輸入${\displaystyle u}$、輸出${\displaystyle y}$、狀態變數${\displaystyle x}$的一階微分方程所組成。一個非線性、非自主系統的動態演進可以由下式表示

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u,t)}$

若系統是時變系統，則

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t),u(t),t),x(t_{0})}$

${\displaystyle x(t_{0})=x_{0},u(t_{0})=u_{0}}$

狀態變數描述动力系统的數學狀態，在針對大而複雜的非線性系統建模時，若因為簡化系統及實務考量而選了一些變數來描述系統狀態，模式中可能不會包括一些系統的動態。狀態空間表示方程中可能會包括一些變數（稱為外源性變數），這些變數的動態可能還不清楚，或是太複雜無法建模，但是確定這些會以一些已知的方程影響狀態變數的變化，而且可以用传感器實時量測到這些訊號。 若實際系統使用了一些傳感器來實際量測訊號，這些訊號是模型狀態及時間的非線性函數，另外也有些外源性變數的準確估測值。因此這個系統會是一個時變的非線性系統，不知道未來時間的變化，但可以用感測器實時量測。 在此例中，若 ${\displaystyle w(t)}$ 是外源性變數向量，且${\displaystyle x(t)}$為建模的狀態，則狀態方程可以寫成下式：

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t),w(t),{\dot {w}}(t),u(t))}$

參數${\displaystyle w}$未知，但可以實時量測，且用在控制系統中。若上述參數相依系統對時間線性，則稱為線性參數相依系統。雖然其中有時變的參數，不過仍可以寫成類似线性时不变系统的型式

${\displaystyle {\dot {x}}=A(w(t))x(t)+B(w(t))u(t)}$

${\displaystyle y=C(w(t))x(t)+D(w(t))u(t)}$

參數相依系統是線性系統，其狀態空間描述是時變參數的已知函數。這些參數隨著時間的變化無法事先預測，但假設是在實時系統中可量測的數據。控制器受限成為一線性系統，其狀態空間的進入點和參數的歷史之間有因果关系。有三種不同的設計:线性变参数控制的方法。

1. 線性分數轉換，主要是小增益定理來找性能及強健性的範圍。
2. 單一二次李亞普諾夫函數（SQLF）
3. 參數相依二次李亞普諾夫函數（PDQLF），限制其可達到的性能水準。

這些問題的解法是重新將控制設計轉換為有限維凸函数的可行性問題（可以有準確的結果），若是無限維的可行性問題，可以用近似的方式求解。 此公式建構了一種新的增益規劃問題，此方式是考慮在確保穩定性及性能的前提下，參數變異的影響。