线性同余方程
的方程。此方程有解当且仅当 b 能够被 a 与 n 的最大公约数整除(记作 gcd(a,n) | b)。这时,如果 x0 是方程的一个解,那么所有的解可以表示为:
在数论中,线性同余方程是最基本的同余方程,“线性”表示方程的未知数次数是一次,即形如:
例子
- 在方程
- 3x ≡ 2 (mod 6)
中, d = gcd(3,6) = 3 ,3 不整除 2,因此方程无解。
- 在方程
- 5x ≡ 2 (mod 6)
中, d = gcd(5,6) = 1,1 整除 2,因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有一个解: x=4。
- 在方程
- 4x ≡ 2 (mod 6)
中, d = gcd(4,6) = 2,2 整除 2,因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有两个解: x=2以及x=5。
求特殊解
对于线性同余方程
- ax ≡ b (mod n) (1)
若 d = gcd(a, n) 整除 b ,那么为整数。由裴蜀定理,存在整数对 (r,s) (可用扩展欧几里得算法求得)使得 ar+sn=d,因此 是方程 (1) 的一个解。其他的解都关于与 x 同余。
举例来说,方程
- 12x ≡ 20 (mod 28)
中 d = gcd(12,28) = 4 。注意到 ,因此 是一个解。对模 28 来说,所有的解就是 {4,11,18,25} 。
与线性丢番图方程的关系
考虑,其等价于(y是整数),也就是线性丢番图方程。运用辗转相除法可以求得该方程的解,有无限多个;但是在原同余方程中,解的个数受到gcd(a,n)限制,因此正如上面例子所示,只能选取前面的几个解。
线性同余方程组
线性同余方程组的求解可以分解为求若干个线性同余方程。比如,对于线性同余方程组:
- 2x ≡ 2 (mod 6)
- 3x ≡ 2 (mod 7)
- 2x ≡ 4 (mod 8)
首先求解第一个方程,得到x ≡ 1 (mod 3),于是令x = 3k + 1,第二个方程就变为:
- 9k ≡ −1 (mod 7)
解得k ≡ 3 (mod 7)。于是,再令k = 7l + 3,第三个方程就可以化为:
- 42l ≡ −16 (mod 8)
解出:l ≡ 0 (mod 4),即 l = 4m。代入原来的表达式就有 x = 21(4m) + 10 = 84m + 10,即解为:
- x ≡ 10 (mod 84)
对于一般情况下是否有解,以及解得情况,则需用到数论中的中国剩余定理。