自守形式

設 ${\displaystyle \Gamma }$ 為作用於複區域 ${\displaystyle D}$ 的離散群。取定自守因子 ${\displaystyle j_{\gamma }(x),\;(\gamma \in \Gamma ,x\in D)}$ 及權 ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$。相應的權 ${\displaystyle m}$ 自守形式是 ${\displaystyle D}$ 上滿足下述函數方程的全純函數

${\displaystyle j_{\gamma }(x)^{m}f(\gamma (x))=f(x),\quad x\in D,\gamma \in \Gamma }$。

自守因子 ${\displaystyle j_{\gamma }(x)}$ 當 ${\displaystyle \gamma }$ 固定時是 ${\displaystyle D}$ 上的全純函數，並且是 ${\displaystyle \Gamma }$ 上的 1-閉上鏈。

定義中的複值函數 ${\displaystyle f}$ 可推廣成取值為矩陣的函數；權 ${\displaystyle m}$ 的限制亦可放鬆，例如半整數 ${\displaystyle m\in {\frac {1}{2}}+\mathbb {Z} }$。

自守形式另有群表示理論的詮釋，並牽涉數論，但無法完全涵攝古典定義。為簡單起見，以下設 ${\displaystyle G=\mathrm {GL} (n)}$，其中心可等同於 ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$。

考慮整體域 ${\displaystyle F}$（例如 ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$），由此定義 ${\displaystyle G}$ 的阿代爾點 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$，賦予相應的拓撲結構，並取定標準的緊子群 ${\displaystyle K}$。

固定一擬特徵 ${\displaystyle \omega :F^{\times }\backslash \mathbb {A} _{F}^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$。以 ${\displaystyle \omega }$為中心特徵的自守形式定為 ${\displaystyle G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F})}$ 上滿足下列條件的複值函數 ${\displaystyle f}$：

1. ${\displaystyle f}$ 光滑：若 ${\displaystyle F}$ 為函數域，這代表 ${\displaystyle f}$ 是局部常數函數。否則意謂存在一組 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$ 的開覆蓋 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$，對每個 ${\displaystyle h\in U\in {\mathcal {U}}}$，${\displaystyle f(h)=f_{U}(h_{\infty })}$，而 ${\displaystyle f_{U}}$ 無窮可微。
2. 对任何${\displaystyle z\in \mathbb {A} _{F}}$ 及任何 ${\displaystyle h}$，总有 ${\displaystyle f(z\cdot h)=\omega (z)f(h)}$。
3. ${\displaystyle f}$ 右 ${\displaystyle K}$-有限：函數 ${\displaystyle f(\cdot k)\;(k\in K)}$ 張成有限維向量空間。
4. 承上，設 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}}$ 為泛包絡代數 ${\displaystyle U({\mathfrak {gl}}(n,F_{v}))}$ 之中心，則 ${\displaystyle f}$ 為 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}}$-有限。
5. 緩增性：固定適當的高度函數 ${\displaystyle \|\cdot \|:G(\mathbb {A} _{F})\to \mathbb {R} _{>0}}$（取法不影響定義），存在常數 ${\displaystyle C}$ 及 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ 使得 ${\displaystyle |f(g)|\leq C\|g\|^{N}}$。

註記. 若 ${\displaystyle v}$ 是 ${\displaystyle F}$ 的阿基米德賦值，條件二中張出的空間在李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F_{v})}$ 的作用 ${\displaystyle f\mapsto Xf}$ 下不變。條件三蘊含自守形式對阿基米德賦值是解析函數。

若對所有 ${\displaystyle r+s=n\,(0<r,s<n)}$ 皆有

${\displaystyle \int _{M_{r,s}(F)\backslash M_{r,s}(\mathbb {A} _{F})}f{\begin{pmatrix}I_{r}&X\\0&I_{s}\end{pmatrix}}\,dX=0}$

則稱 ${\displaystyle f}$ 為尖點形式。

定義 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$ 為中心特徵為 ${\displaystyle \omega }$ 的自守形式集，子空間 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$ 則為尖點形式集。

這兩個空間是有限阿代爾群 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{\mathrm {fin} })}$ 的表示；對阿基米德賦值則帶有 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$-模結構。此套結構可以概括為整體赫克代數 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}}$ 的表示。注意：它們並非 ${\displaystyle G(\mathbb {A} )}$ 的表示！

一個自守表示是 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}}$-模 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$ 之子商，${\displaystyle \omega }$ 稱作該自守表示的中心擬特徵。尖點自守表示是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$ 之子空間。