莫雷拉定理

假设f₁, f₂, ...是一个全纯函数的序列，在开圆盘内一致收敛于连续函数f。根据柯西积分定理，可知對每個n，順著任意圓盤內的閉曲線C，

${\displaystyle \oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}$

而一致收斂則意指，對每個閉曲線C，

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\lim _{n\rightarrow \infty }\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}$

，因此根据莫雷拉定理，f　一定是全纯函数。這個事實可以用來證明對每一個開集Ω ⊆ C，由所有有界解析函數u : Ω → C 所組成的集合A(Ω) 會是一個在最小上界範數下的複巴拿赫空間。

莫雷拉定理可以用于证明由级数或积分所定义的函数的解析性，例如黎曼ζ函数：

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

或伽玛函数：

${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx.}$