微积分基本定理

設 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$，${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$為連續函數，對所有的 ${\displaystyle x\in [a,b]}$，定義函數 F 如下：

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}\!f(t)\,dt.}$

則 F 在閉區間 [a,b] 連續，並在開區間 (a, b)可微， 且對所有在開區間 (a, b) 中的 x，有

${\displaystyle F'(x)=f(x)}$

假設有兩函數，${\displaystyle f,F:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$，若滿足以下條件：

• ${\displaystyle F'(x)=f(x),\;\forall x\in (a,b)}$ 且F 是閉區間 [a,b] 上的連續函數，
• f 是黎曼可積函數，

則有：

${\displaystyle \int _{a}^{b}\,f(t)\,dt\,=F(b)-F(a)}$

常简记为

${\displaystyle \int _{a}^{b}\,f(t)\,dt\,=F(b)-F(a)=F(x){\bigg |}_{a}^{b}}$

假设有

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,.}$

设x₁和x₁ + Δx为区间[a, b]中的两个数。我们有

${\displaystyle F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt}$

和

${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt\,.}$

两式相减，得

${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt.\qquad (1)}$

可以证明

${\displaystyle \int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt+\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.}$

（两个相邻区域的面积之和，等于两个区域合并起来的面积。）

整理，得

${\displaystyle \int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.}$

把上式代入(1)，得

${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.\qquad (2)}$

根据积分第一中值定理，在区间(x₁, x₁ + Δx)存在一个c，使得

${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=f(c)\Delta x\,.}$

把上式代入(2)，得

${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\Delta x\,.}$

两边除以Δx，得

${\displaystyle {\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).}$

注意左边的表达式是F在x₁处的牛顿差商。

两边取Δx → 0的极限，

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).}$

左边的表达式是F在x₁处的导数的定义。

${\displaystyle F'(x_{1})=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).\qquad (3)}$

我们用夹挤定理来求另一个极限。c在区间[x₁, x₁ + Δx]内，因此x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx。

另外${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}}$ and ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}\,.}$

所以，根据夹挤定理，

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}c=x_{1}\,.}$

代入(3)，可得

${\displaystyle F'(x_{1})=\lim _{c\to x_{1}}f(c)\,.}$

函数f在c处连续，所以极限可以在函数里面进行。因此，我们有

${\displaystyle F'(x_{1})=f(x_{1})\,.}$

证明完毕。

设f在区间[a, b]上连续，并设F为f的原函数。我们从以下表达式开始

${\displaystyle F(b)-F(a)\,.}$

设有数

x₀, ..., x_n

使得

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b\,.}$

可得

${\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0})\,.}$

我们加上F(x_i)及其相反数，这样等式仍成立：

${\displaystyle {\begin{matrix}F(b)-F(a)&=&F(x_{n})\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots \,+\,[-F(x_{1})+F(x_{1})]\,-\,F(x_{0})\,\\&=&[F(x_{n})\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots \,-\,F(x_{1})]\,+\,[F(x_{1})\,-\,F(x_{0})]\,.\end{matrix}}}$

以上表达式可用以下的和表示：

${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\,.\qquad (1)}$

我们将使用均值定理。就是：

设F在闭区间[a, b]连续，在开区间(a, b)可导，则开区间(a, b)内一定存在c使得

${\displaystyle F'(c)={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}\,.}$

可得

${\displaystyle F'(c)(b-a)=F(b)-F(a).\,}$

函数F在区间[a, b]可导，所以在每一个区间x_i-1也是可导和连续的。因此，根据均值定理，

${\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})\,.}$

把上式代入(1)，得

${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})]\,.}$

根据第一部分的结论，我们有${\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i})}$。另外，${\displaystyle x_{i}-x_{i-1}}$可表示为第${\displaystyle i}$个小区间的${\displaystyle \Delta x}$。

${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.\qquad (2)}$

一个黎曼和的收敛数列。右上角的数是灰色矩形的面积。它们收敛于函数的积分。

注意到我们正在描述矩形的面积（长度乘以宽度），并把这些面积相加起来。每一个矩形都描述了一部分曲线的估计。同时也注意到，${\displaystyle \Delta x_{i}}$并不需要对于任何${\displaystyle i}$都是相同的，换句话说，矩形的长度可以变化。我们要做的，是要用${\displaystyle n}$个矩形来近似代替曲线。现在，当n增加而每一个矩形越来越小时，它的面积就越来越接近曲线的真实面积。

当矩形的宽度趋近于零时取极限，便得出黎曼积分。也就是说，我们取最宽的矩形趋于零，而矩形的数目趋于无穷大时的极限。

所以，我们把(2)式的两边取极限，得

${\displaystyle \lim _{\|\Delta \|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.}$

F(b)和F(a)都不依赖于||Δ||，所以左面的极限仍然是F(b) - F(a)。

${\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.}$

右边的表达式定义了f从a到b的积分。这样，我们有

${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,,}$

证明完毕。