菲涅耳方程

当光从一种折射率为${\displaystyle n_{1}\,}$的介质向另一种折射率为${\displaystyle n_{2}\,}$的介质传播时，在两者的交界处（通常称作界面）可能会同时发生光的反射和折射。菲涅尔方程描述了光波的不同分量被折射和反射的情况，也描述了波反射时的相变。

方程成立的条件是：界面是光滑平面，入射光是平面波，边际效应可被忽略。

s 和 p 偏振

计算结果取决于入射光的偏振态。以下是两种情况（由于电场分量、磁场分量、光的传播方向由右手螺旋关系确定，所以仅讨论电场方向的偏振）

1. 偏振入射光的电场分量与入射光及反射光所形成的平面相互垂直。此时的入射光状态称为「s偏振态」，源于德语「senkrecht」。
2. 偏振入射光的电场分量与入射光及反射光所形成的平面相互平行。此时的入射光状态称为「p偏振态」，源于德语「parallel」。

菲涅耳方程中所用的变量

在右图中，入射光线PO到达两种介质交界面上的点O时，部分光线被反射，反射光为OQ，而另一部分被折射，折射光为OS。定义入射光线、反射光线和折射光线各自与法线形成的夹角分别为${\displaystyle \theta _{i}\,}$、${\displaystyle \theta _{r}\,}$和${\displaystyle \theta _{t}\,}$。

入射光线与反射光线的方向由反射定律约束：

${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {r} }}$

入射光线与折射光线的方向由斯涅尔定律约束：

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{\mathrm {i} }}{\sin \theta _{\mathrm {t} }}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}}$

一定功率的入射光被界面反射的比例称为反射比${\displaystyle R\,}$；折射的比例称为透射比${\displaystyle T\,}$[1]。对反射比和透射比的计算需要用到电动力学中的电磁波传播理论，具体方法可参考玻恩的《光学原理：光的传播、干涉和衍射的电磁理论》[2]以及杰克逊的《经典电动力学》[3]。

反射比和透射比的具体形式还与入射光的偏振有关。如果入射光的电矢量垂直於右图所在平面（即s偏振），反射比为

${\displaystyle R_{s}=\left[{\frac {\sin(\theta _{t}-\theta _{i})}{\sin(\theta _{t}+\theta _{i})}}\right]^{2}=\left({\frac {n_{1}\cos \theta _{i}-n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}+n_{2}\cos \theta _{t}}}\right)^{2}=\left[{\frac {n_{1}\cos \theta _{i}-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{i}+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}}\right]^{2}}$

其中${\displaystyle \theta _{t}\,}$是由斯涅尔定律从${\displaystyle \theta _{i}\,}$导出的，并可用三角恒等式化简。

如果入射光的电矢量位于右图所在平面内（即p偏振），反射比为

${\displaystyle R_{p}=\left[{\frac {\tan(\theta _{t}-\theta _{i})}{\tan(\theta _{t}+\theta _{i})}}\right]^{2}=\left({\frac {n_{1}\cos \theta _{t}-n_{2}\cos \theta _{i}}{n_{1}\cos \theta _{t}+n_{2}\cos \theta _{i}}}\right)^{2}=\left[{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{i}}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{i}}}\right]^{2}}$

透射比无论在哪种情况下，都有${\displaystyle T=1-R\,}$。

如果入射光是无偏振的（含有等量的s偏振和p偏振），反射比是两者的算数平均值：${\displaystyle R={\frac {R_{s}+R_{p}}{2}}\,}$。

反射和折射光波的振幅与入射光波振幅的比值（通常称为反射率和透射率）也可用类似的方程给出，这些方程也称作菲涅耳方程。根据不同的体系和符号习惯，它们可以有不同形式。反射率和透射率通常用小写的${\displaystyle r\,}$和${\displaystyle t\,}$表示。在某些体系中，它们满足条件：

${\displaystyle R=r^{2}\ \mathrm {and} \ T=\left({\frac {n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}}}\right)t^{2}}$ [4]

对於给定的折射率${\displaystyle n_{1}\,}$和${\displaystyle n_{2}\,}$且入射光为p偏振光时，当入射角为某一定值时${\displaystyle R_{p}\,}$为零，此时p偏振光被完全透射而无反射光出射。这个角度被称作布儒斯特角，对於空气或真空中的玻璃介质约为56°。注意这个定义只是对於两种折射率都为实数的介质才有意义，对於会吸光的物质，例如金属和半导体，折射率是一个复数，从而${\displaystyle R_{p}\,}$一般不为零。

当光从光密介质向光疏介质传播时（即${\displaystyle n_{1}\ >n_{2}\,}$时），存在一个临界的入射角，对於大于此入射角的入射光${\displaystyle R_{s}=R_{p}=1\,}$，此时入射光完全被界面反射。这种现象称作全内反射，临界角被称作全反射临界角，对於空气中的玻璃约为41°。

当光线以近法线入射（${\displaystyle \theta _{i}\approx \theta _{t}\approx 0\,}$）时，反射比和透射比分别为：

${\displaystyle R=R_{s}=R_{p}=\left({\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right)^{2}}$

${\displaystyle T=T_{s}=T_{p}=1-R={\frac {4n_{1}n_{2}}{\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}}}}$

对於普通的玻璃，反射比大约为4%。注意窗户对光波的反射包括前面一层以及后面一层，因而少量光波会在两层之间来回振荡形成干涉。如忽略这种干涉效应，这两层合并后的反射比为${\displaystyle {\frac {2R}{1+R}}\,}$（见下）。

需要指出的是这里所有的讨论都假设介质的磁导率${\displaystyle \mu \,}$都等于真空磁导率${\displaystyle \mu _{0}\,}$。对於大多数电介质而言这是近似正确的，但对其他类型的物质来说不正确，因而若考虑这一点则菲涅耳方程的形式会更加复杂。

当光在两层以上平行表面发生多重反射时，多列反射光波往往会互相发生干涉，从而有可能会使系统总的透射光和反射光振幅表达起来相当复杂，这通常是波长（或频率）的函数。一个例子是漂浮在水面上的油膜，在光照下会产生多种色彩；其他例子还包括法布里－珀罗干涉仪、透镜等光学仪器表面所用的能极大降低反射率的镀膜（增透膜），以及各种光学滤波器。对这些效应的定量计算仍然是基于菲涅耳方程的，但也要考虑额外产生的干涉所带来的影响，通常可以采用光学中的传递矩阵方法来计算这些问题。

• 菲涅耳棱镜，菲涅耳用於产生圆偏光的仪器。
• 镜面反射
• 反射係數
• 透射係數

1. Hecht (1987), p. 100.
2. Max Born; Emil Wolf. . Cambridge University Press. October 13, 1999: 334. ISBN 0521642221. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
3. Jackson, J D. . New York: Wiley. 1999. ISBN ISBN 0-471-30932-X.
4. Hecht (2002), p. 120.

• Hecht, Eugene. 2nd. Addison Wesley. 1987. ISBN 0-201-11609-X.
• Hecht, Eugene. 4th. Addison Wesley. 2002. ISBN 0-321-18878-0.

• Fresnel Equations 页面存档备份，存于 – Wolfram Research
• FreeSnell 页面存档备份，存于 – 免费的计算机软件，用於计算多层材料的光学性质
• Thinfilm 页面存档备份，存于 – 计算薄膜以及多层材料光学性质（反射和透射系数等）的Web网页
• 计算单界面的反射和折射角、以及光强的Web网页. 页面存档备份，存于
• ReflectionCoefficient.INFO – 光学反射率计算器
• Reflection and transmittance for two dielectrics - 用Mathematica编写的演示折射率与反射关系的工具