解析空間
定義
固定一個完備域 (通常取 或 )。
令 ,其中 ,令 為 上的解析函數層。設 為解析函數,我們考慮它們的共同零點形成之空間 (帶來自 的拓撲結構),並賦予結構層 。如此遂得到一個局部賦環空間,這類空間稱作局部模型。
注意到我們容許結構層中有冪零元,一如概形的情形,若一個解析空間的結構層之冪零根為零,則稱之為既約的。
所謂解析空間是一個局部同構於上述空間的局部賦環空間 ;或者說是局部模型沿著開集的黏合。在 時,數學家們已有特別深入的研究,這類解析空間稱為複解析空間,可以視為複流形的推廣。
解析凝聚層
岡潔引理(Oka's lemma)是這方面的最初成果之一,其推論之一是:複解析空間的結構層是凝聚層,其中的任何理想層也都是凝聚層。
對複解析凝聚層已有一套細緻的理論,包括一些重要的有限性定理;詳閱 Grauert 與 Remmert 的著作(見參考文獻)。
複概形與解析空間
具良好性質(局部諾特、分離……)的複概形 可視作解析空間;形式地說,有解析化函子
- ,映至相應的複解析空間。
- ,將 上的代數凝聚層映至 上的解析凝聚層。
於是引生兩大問題:
- 比較複概形及其解析化的諸般性質:包括拓撲性質(連通性、緊性、分支、真態射)及上同調(或者更一般的高階正像導函子 )等等……。
- 複解析空間的代數性問題:一個複解析空間稱作是代數的,若且唯若它同構於某個 ,其中 是個複概形;顯然存在非代數的複解析空間(例如 的單位圓盤)。能否給出代數性的一般判準?
關於第一個問題,可參閱塞爾的著名論文 Géométrie algébrique et géométrie analytique(代數幾何與解析幾何),或 SGA 卷一附錄。第二個問題則牽涉甚廣。已知一維緊複流形皆是射影代數簇,這是黎曼的經典結果;至於一般的整、緊複解析空間,代數化的必要條件之一是存在「夠多」亞純函數,明確地說,即亞純函數域的超越次數須等於空間的維度;這類空間稱作 Moishezon 空間。對於緊複流形,另一個必要條件是須有 Kähler度量。
文獻
- H. Grauert, R. Remmert, Analytische Stellenalgebren (1971) , Springer-Verlag (也有英譯本:Coherent Analytic Sheaves)
- Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud. . Société Mathématique de France. 2003: xviii+327 [1971]. ISBN 978-2-85629-141-2 (法语).
- J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique." Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42.
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