質數階乘

第n個質數p_n的質數階乘p_n#定義為前n個質數的積：[2][3]

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}}$

其中p_k是第k個質數。

例如，p₅#代表前五個質數的乘積：

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}$

前幾個質數階乘p_n#是：

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, ...（OEIS中的数列A002110）

並定義p₀# = 1 為空積。

質數階乘p_n#的漸進遞增為：

${\displaystyle p_{n}\#=\exp \left[(1+o(1))\cdot n\log n\right]}$[3]

其中：

• "exp"是指數函數e^x
• "o"是大O符號[3][4]

一般情況下，對於正整數n的一質數階乘n#（或稱作自然質數階乘）也可以被定義為：[2][5]

${\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}$

其中，π(n)是質數計數函數（OEIS中的数列A000720），表示小於或等於某個實數n的質數的個數。

它等於：

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\n\times ((n-1)\#)&{\text{if }}n>1\land n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n>1\land n{\text{ is composite}}\end{cases}}}$

• prime指質數，composite指合成數

例如，12# 代表質數≤ 12：

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}$

因為π(12) = 5，所以這個算式也可以寫成：

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310}$

前幾個自然質數階乘n#是：

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310

不難發現當n為合成數時，n#的值總是與(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p₅# = 11#，因為12為合成數。

n#的自然對數是第一個切比雪夫函數，记為${\displaystyle \theta (n)}$ 或 ${\displaystyle \vartheta (n)}$。[6]

質數階乘n#的漸進遞增為：

${\displaystyle \ln(n\#)\sim n}$

質數階乘的概念可以用於證明素數是無限的。（參見證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式）

[7]

黎曼ζ函數在超過1的正整數可以質數階乘與 Jordan's totient function ${\displaystyle J_{k}(n)}$表示：

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }$

• 質數（）
• 階乘
• 歐幾里得數

• Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.

1. 本段是翻譯自日文"素数階乗"條目
2. 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
3. （OEIS中的数列A002110）
4. 本段（質數階乘#用質數定義）是翻譯自英文Primorial條目的"Definition for prime numbers"段落
5. （OEIS中的数列A034386）
6. 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
7. 本段（質數階乘#用自然數定義）是翻譯自英文條目Primorial中的Definition for natural numbers段落