邻域系
定义
的映射(指的幂集的幂集)。这样将的每个点映射至的子集族。称为的邻域系(或称邻域系统,的元素称为的邻域),当且仅当对任意的,满足如下邻域公理:
- U1:若,则。
- U2:若,则。(邻域系对邻域的有限交封闭)。
- U3:若,,则。
- U4:若,则存在,使且对所有,有。
从邻域出发定义其它拓扑空间的基础概念:
- 从邻域定义开集:的子集是开集,当且仅当对任意,有。(是其中每个点的邻域)。
- 从邻域定义开核:的子集的开核。
- 从邻域定义闭包:的子集的闭包。
参照滤子的定义。给定点x,其邻域系恰构成了一个滤子,称为邻域滤子。
例子
- 一个点的邻域系也平凡的是这个点的邻域基。
- 若拓扑空间X是不可分拓扑,则任何点 x 的邻域系是整个空间
- 。
- 这是因为向量加法在引发的拓扑中是分离连续的。所以这个拓扑确定自它的在原点的邻域系。更一般的说,只要拓扑是通过平移不变度量或伪度量定义的以上结论就是真的。
- 非空集合 A 的所有邻域系是叫做 A 的邻域滤子的滤子。
- 拓扑空间 X 中所有点 x 的局部基的并集是 X 的基。
註釋
- Stephen Willard, General Topology (1970) Addison-Wesley Publishing (See Chapter 2, Section 4)
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