量纲

对于不同物理量之间乘、除法导出新的物理量，量纲的计算满足数学上的指数计算法则，即：相乘则对应指数相加，相除则对应指数相减。

例如，根据安培力计算公式${\displaystyle F=ILB}$，可导出磁感应强度的量纲，有

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim B&={\dfrac {(\dim F)}{(\dim I)(\dim L)}}\\&=\mathrm {\dfrac {LMT^{-2}}{IL}} \\&=\mathrm {MT^{-2}I^{-1}} \end{aligned}}}$

量纲服从的规律称为量纲法则，它有广泛的应用，一般只指出常用的两条： 1.只有量纲相同的物理量，才能彼此相加、相减和相等； 2.指数函数、对数函数和三角函数的宗量应当是量纲1的。 量纲法则是量纲分析的基础。若推出的公式不符合量纲法则，该式必然是错误的。[3]

π定理是由白金汉（E.Buckinghan）于1915年提出的一个定理，故又叫作白金汉定理。其内容为：

设影响某现象的物理量数为${\displaystyle n}$个，这些物理量的基本量纲为${\displaystyle m}$个，则该物理现象可用${\displaystyle N=n-m}$个独立的无量纲数群（准数）关系式表示。

用数学方式表示为：

设n个物理量之间满足函数关系式：

${\displaystyle f(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n})=0}$

其中，${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}$为物理量。共包含有m个基本量纲（m<n）。则上述关系式与下列关系式等价：

${\displaystyle F(\Pi _{1},\Pi _{2},\cdots ,\Pi _{k})=0}$

其中${\displaystyle k=n-m}$,${\displaystyle \Pi _{1},\Pi _{2},\cdots ,\Pi _{k}}$为无量纲量，F为未知函数关系。

举例：粗糙平面上的一受恒力物体

设在水平面上有一质量为${\displaystyle m}$的物体，受一水平力${\displaystyle F}$的作用加速滑动，加速度为${\displaystyle a}$，物体与水平面之间的滑动摩擦因数为${\displaystyle \mu }$，重力加速度大小为${\displaystyle g}$。则根据牛顿第二运动定律，可以写出以下关系式：

${\displaystyle F-\mu mg=ma}$

式中有5个物理量，涉及到3个量纲（${\displaystyle \mathrm {L} }$，${\displaystyle \mathrm {M} }$，${\displaystyle \mathrm {T} }$），根据Π定理，这个方程可以由两个无量纲量表示。比如：

${\displaystyle {\dfrac {F}{ma}}-{\dfrac {\mu mg}{ma}}=1}$

式中${\displaystyle {\dfrac {F}{ma}}}$与${\displaystyle {\dfrac {\mu mg}{ma}}}$皆为无量纲量，1为常数不加考虑。

于是，原来有五个未知量的式子就被转化为只有两个未知量的了。实际应用当然会比这个复杂得多，然而原理是一样的。

π定理是量纲分析中一个非常重要的定理，它与量纲法则是量纲分析的两大方法，它在建立模型和简化物理过程方面有着巨大的用途。

量纲分析是物理学的基础之一，更在空气动力学和流体力学中有重要应用。

• 可以在不同的单位制间进行导出单位的换算。

如，在推导牛顿与达因之间的换算关系时，已知${\displaystyle \dim F=\mathrm {LMT^{-2}} }$，又知道牛顿使用国际单位制（千克米秒制），达因使用厘米克秒制，1 m = 100 cm，1 kg = 1000 g,于是

${\displaystyle \mathrm {{\dfrac {1\,N}{1\,dyn}}=\left({\dfrac {1\,m}{1\,cm}}\right)\left({\frac {1\,kg}{1\,g}}\right)\left({\frac {1\,s}{1\,s}}\right)^{-2}=10^{5}} }$

${\displaystyle \mathrm {1\,N=10^{5}\,dyn} }$

• 验证公式。在对一个公式踌躇不定的时候，可以对等号两边进行取量纲。因为根据量纲的一致性，只有量纲相同的物理量才能进行相加、相减、相等，故可用该方法排除一部分错误。（当然，这并不总是有效。）

比如，对于安培力公式${\displaystyle F=ILB}$，如果不慎记成${\displaystyle F=IvB}$，那么在验证时有，

${\displaystyle \dim F=\mathrm {LMT^{-2}} }$

${\displaystyle \dim IvB=\mathrm {ILT^{-1}MT^{-2}I^{-1}=LMT^{-3}} }$

显然是不等的，那么便可以得知公式错误；并且还可以知道是少了一个量纲${\displaystyle \mathrm {T} }$，那么便会更有方向性地寻找错误原因。

• 为复杂公式提供线索，简化复杂物理现象。

比如，对于单摆的周期，可以猜测它与单摆的质量${\displaystyle m}$、摆长${\displaystyle l}$和重力加速度${\displaystyle g}$有关，于是假设

${\displaystyle T=\lambda m^{x}l^{y}g^{z}}$

其中${\displaystyle \lambda }$为常数。两边取量纲，得

${\displaystyle \mathrm {T=M^{x}L^{y}(LT^{-2})^{z}} }$

根据量纲的一致性，

${\displaystyle {\begin{cases}0=y+z\\0=x\\-2z=1\end{cases}}}$

解得x=0，y=0.5，z=-0.5，故

${\displaystyle T=\lambda {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$

只需用实验测出${\displaystyle \lambda }$的值就可以了。

流体力学中诸如湍流、流体阻力之类的问题，理论非常复杂，有时也常采用实验的方式确定[4]。已经看到，在量纲法则上建立的Π定理把n元关系式简化为n-m元关系式，于是在实际计算中只需要这n-m个值便可了解该物理过程了。力学涉及三个量纲（${\displaystyle \mathrm {L} }$，${\displaystyle \mathrm {M} }$，${\displaystyle \mathrm {T} }$），因此通过无量纲化便减少了3个未知量，这实际上大大地简化了实验过程和理论计算。[5]