非互補歐拉商數

其中${\displaystyle \varphi (m)}$表示歐拉函數，是小於m的正整數中和m互質整數的個數，${\displaystyle m-\varphi (m)}$稱為m的互補歐拉商數，因此非互補歐拉商數就是指不在互補歐拉商數值域內的整數。

非互補歐拉商數（）是指一個正整數n，不存在任一個整數m使下式成立：

${\displaystyle m-\varphi (m)=n,}$

頭幾個非互補歐拉商數是：

10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520 （OEIS中的数列A005278）。

目前已知的非互補歐拉商數均為偶數，因此猜想所有的非互補歐拉商數均為偶數，猜想中有用到有經過修改的哥德巴赫猜想：若偶數n可以表示為二個相異質數p及q的和，則

${\displaystyle pq-\varphi (pq)=pq-(p-1)(q-1)=p+q-1=n-1.\,}$

依照哥德巴赫猜想，所有大於6的偶數都可以表示為二個相異質數p及q的和，此偶數減1所得的奇數就是pq的互補歐拉商數，因此很可能所有大於5的奇數都是互補歐拉商數，而未考慮到的奇數有1,3,5，而${\displaystyle 1=2-\phi (2),3=9-\phi (9)}$, ${\displaystyle 5=25-\phi (25)}$，這些數也都是互補歐拉商數，因此很可能所有的非互補歐拉商數均為偶數。

Erdős和Sierpinski曾猜想存在有無限多個非互補歐拉商數，後來Browkin和Schinzel在1995年證實此一猜想，他們證明無窮數列${\displaystyle 2^{k}\cdot 509203}$的每一項都是非互補歐拉商數，Flammenkamp和Luca在2000年提出了其他形式大致接近的範例。