值域

在数学中，函数的值域（英語：）是由定义域中一切元素所能產生的所有函數值的集合。有时候也称为函数的像。

给定函数 $f:A\rightarrow B$ ，集合 $f(A)$ 被称为是 $f$ 的值域，记为 $R_{f}$ 。值域不应跟陪域 $B$ 相混淆。一般来说，值域只是陪域的一个子集。

例子

假设函数 $f$ 为定义在实数上的函数：

f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}

定义为

f:x\mapsto x^{2}

$f$ 的陪域为 $\mathbb {R}$ ，但明顯地 $f(x)$ 不會取到负数值，因此，事实上值域只是非负实数集合 $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$ ，即区间 $[0,\infty )$ ：

0\leq f(x)<\infty

。

求函数值域，尤其是复合函数的值域时，首先要对基本的初等函数的定义域和值域充分了解，其次要灵活运用基本不等式。

初等函数的值域求法一般为：

例如： $y=3-{\sqrt {x}}$

由 ${\sqrt {x}}\geq 0$

$\Rightarrow -{\sqrt {x}}\leq 0$

所以值域为 $(-\infty ,3]$ 。

先求得所要计算的函数的反函数，则反函数的定义域即为原函数的值域。

例如： $y={\sqrt[{3}]{x}}$

它的反函数为 $x=y^{3}$

反函数的定义域为： $(-\infty ,+\infty )$

则原函数 $y={\sqrt[{3}]{x}}$ 的值域为： $(-\infty ,+\infty )$

画出連續函数的图像，则函数图像纵轴的最小值和最大值（若有）组成的区间即为函数的值域。