馬爾可夫方程

不定方程 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=3x_{1}x_{2}x_{3}$ 稱為馬爾可夫方程（英語：或Markoff equation）。

求解方法如下：

先憑觀察找出 $(x_{1},x_{2},x_{3})=(1,1,1)$ 這組解。
方程可視為一個 $x_{3}$ 為未知數的一元二次方程。根據韋達定理，可知 $(x_{1},x_{2},3x_{1}x_{2}-x_{3})$ 　（留意 $3x_{1}x_{2}-x_{3}={\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{3}}}$ ）也是一個解。

這個方程有無限個解。

事實上，用這個方法由(1,1,1)開始，可以找出這方程的所有正整數數組解。

在此不定方程的解出現的正整數稱為馬爾可夫數（英語：），它們由小到大是：

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... （OEIS:A002559）

它們組成的解是：

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ...

馬爾可夫數的特性

馬爾可夫方程的解

馬爾可夫數可以排成一棵二元樹（如圖）。

在二元樹上，和 1 的範圍相鄰的數（即二元樹的上方，2, 5, 13, 34, 89, ...），都是相隔的斐波那契數。

和 2 的範圍鄰接的數（即二元樹的下方，1, 5, 29, 169, ...）也有相似的特質：它們都是相隔的佩爾數。[1]

猜想

每個數只在樹上出現一次（即沒有正整數 $z$ 使得 $(a,b,z),(c,d,z)$ 都是方程的解，其中 $a,b,c,d$ 是兩兩相異的正整數，且 $a>b>z,c>d>z$ ）。[2]

赫爾維茨方程

馬爾可夫-赫維茲方程（英語：），是指形式如 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}=ax_{1}x_{2}...x_{n}$ 的不定方程，其中 $a,n$ 是正整數。

阿道夫·赫維茲證明了：方程有 $(0,...,0)$ 之外的解的必要條件之一是 $a\leq n$ 。[3]

參考

[. [2007-08-17]. （原始内容存档于2008-12-02）.（英文）
Tom Ace，Markoff numbers (minortriad.com)（英文）
Springer Online Reference Works: Hurwitz equation（英文）

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[1] [. [2007-08-17]. （原始内容存档于2008-12-02）.（英文）

[2] Tom Ace，Markoff numbers (minortriad.com)（英文）

[3] Springer Online Reference Works: Hurwitz equation（英文）