一元二次方程

把一个一元二次方程变形成一般形式${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$後，如果${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$存在两个实根${\displaystyle x_{1},x_{2}}$，那么它可以因式分解为${\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=0}$。

例如，解一元二次方程${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$时，可将原方程左边分解成

$${\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right)=0}$$

所以

$${\displaystyle x-1=0\quad x-2=0}$$

可解得

$${\displaystyle x_{1}=1\quad x_{2}=2}$$

对于${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)}$，它的根可以表示为：

$${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$$

有些時候也写成

$${\displaystyle x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}}$$

公式解可以由配方法得出。

首先先將一元二次方程的一般形式${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$除以${\displaystyle a}$（${\displaystyle a}$在一元二次方程中不為零），將會得到

$${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}$$

即

$${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}$$

現在可以開始配方了。為了配方，必須要加上一個常數（在這個例子裡，它是指一個不隨${\displaystyle x}$而變的量）到等式的左邊，使等式左邊有完全平方${\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}}$的樣子。 當${\displaystyle 2xy={\frac {b}{a}}x}$時得到

$${\displaystyle y={\frac {b}{2a}}}$$

亦即當式子的兩邊加上${\displaystyle y^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}$將得到：

$${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}$$

式子的左邊變成了一個完全平方了。並且可以看出是${\displaystyle \left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)}$的平方。式子的右邊則可以通分成一個分數，因此式子變成了：

$${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$$

接下來，對式子的兩邊開根號：

$${\displaystyle \left|x+{\frac {b}{2a}}\right|={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{|2a|}}\Leftrightarrow x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}}$$

最後，式子兩邊同時減去${\displaystyle {\frac {b}{2a}}}$ 公式解終於出現了：

$${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$$

一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

一元二次方程中的判别式

$${\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}}$$

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為${\displaystyle b^{2}-4ac}$的數當中任何一個」。在某些数域中，有些數值没有平方根。

对于实系数一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(0\right)}$，${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

• 如果${\displaystyle \Delta >0}$，则这个一元二次方程有兩个不同的实数根。如果係數都為有理數，且${\displaystyle \Delta }$是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根都是無理數。

• 如果${\displaystyle \Delta =0}$，则這个一元二次方程有兩個相等的实数根。而且這兩個根皆為
  $${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$$

  

• 如果${\displaystyle \Delta <0}$，则这个一元二次方程有兩個不同的複数根，且为共轭複根。這時根為
  $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\x&={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\\end{aligned}}}$$

  
  其中 ${\displaystyle {\begin{aligned}i^{2}&=-1\end{aligned}}}$

即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。

根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。

$${\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}$$

$${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}}$$

${\displaystyle {\color {Red}{}\Delta >0}}$，则该函数与x轴相交（有两个交点）
${\displaystyle {\color {Blue}{}\Delta =0}}$，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）
${\displaystyle {\color {Green}{}\Delta <0}}$，则该函数与x轴相离（没有交点）

一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$的根的几何意义是二次函数${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$的图像（為一条抛物线）与${\displaystyle x}$轴交点的x坐标。

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$的解是${\displaystyle y=x^{2}}$和${\displaystyle y=-{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {c}{a}}\end{matrix}}}$交點的X座標

另外一种解法是把一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$化为${\displaystyle x^{2}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}$ 的形式。

则方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$的根，就是函数${\displaystyle y=x^{2}}$和${\displaystyle y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}$交点的X坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据下面的公式去解

$${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$$

可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)