高斯整环

高斯整环，指复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$中，集合${\displaystyle \{a+bi|a,b\in \mathbb {Z} ,i^{2}=-1\}}$可按整环定义验证，最早由高斯发现。

高斯整环是不可以转化成有序环的欧几里德整环，所以是唯一因子分解整环。

高斯整环单位(“单位”即等价于“环中的乘法可逆元”）只有${\displaystyle \{1,-1,i,i\}}$这4个。

高斯整环中元素a+bi为素元的充要条件为满足以下条件之一：

• ${\displaystyle ab\neq 0}$，且${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$是素数. 由此可推得 ${\displaystyle a,b\in \{1,-1\}}$ 或 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv 1{\pmod {4}}}$.
• ${\displaystyle a\neq 0,b=0}$,且${\displaystyle |a|\equiv 3{\pmod {4}}}$. 如 ${\displaystyle 7}$是素元,但${\displaystyle 5=(2+i)(2-i)}$不是素元.
• ${\displaystyle a=0,b\neq 0}$,且${\displaystyle |b|\equiv 3{\pmod {4}}}$. 如 ${\displaystyle 7i}$是素元,但${\displaystyle 5i=(2+i)(1+2i)}$不是素元.

高斯整环的剩余类环为： 设${\displaystyle (a,b)=1,\mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}}$.