高斯符號

高斯符號是一个数学符号，形式为方括号[x]，表示不大於（等于或小于）[[]]x的最大整數，即 $x-1<[x]\leq x$ 。

高斯符號首次出現是在高斯的數學巨著《算术研究》。

运算示例： $[\pi ]=3,[2]=2,\left[-{\frac {5}{2}}\right]=-3$ 。

在计算机科学中，高斯符號常表示为INT()函数。

后来肯尼斯·艾佛森在1962年時於其著作《A Programming Language》中把高斯符号称作取底符号（ $\lfloor x\rfloor$ ，floor），并同时引进取顶符号（ $\lceil x\rceil$ ，ceil）(用以表示不大於x的整數中最大的一個)。

高斯符號的一些性质

当且仅当x是整数时，左面的等号成立。

\left[{\frac {x}{2}}\right]={\frac {1}{4}}((-1)^{[x]}-1+2[x])

\left[{\frac {x}{3}}\right]={\frac {-2}{\sqrt {3}}}\sin({\frac {2\pi }{3}}[x]+{\frac {\pi }{3}})+1

\left[{\frac {x}{n}}\right]={\frac {x-x(rem~n)}{n}}

\left[{\frac {n}{x}}\right]\geq {\frac {n}{x}}-{\frac {x-1}{x}}

[x+k]=k+[x].

[x]=x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.

\sum _{i=1}^{n-1}[im/n]=(m-1)(n-1)/2

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