分划

根据分划中${\displaystyle A}$和${\displaystyle A'}$是否有最大数、最小数，可以将分划分为三种类型：

1. ${\displaystyle A}$中有最大数，${\displaystyle A'}$中无最小数
2. ${\displaystyle A}$中无最大数，${\displaystyle A'}$中有最小数
3. ${\displaystyle A}$中无最大数，${\displaystyle A'}$中无最小数

可以证明，“${\displaystyle A}$中有最大数，${\displaystyle A'}$中有最小数」的情况并不存在。证明:因为如果A有最大数a，A'有最小数b，则根据分割的定义可知 a<b。但是 (a+b)/2 显然也是有理数，并且a<(a+b)/2<b，因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 A' 中，这就与 A∪A' 是全体有理数矛盾。
第三种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种"空隙"（${\displaystyle A}$和${\displaystyle A'}$之间的界数），这个"空隙"所对应的数既不属于${\displaystyle A}$，也不属于${\displaystyle A'}$，因此它不是有理数，它所对应的数就是无理数，因此说第3种情况的分划定义了一个无理数。
作为一个直观的理解，我们可以把上面三种分化分别看成 ${\displaystyle (-\infty ,d]\cup (d,+\infty )}$、${\displaystyle (-\infty ,d)\cup [d,+\infty )}$ 和 ${\displaystyle (-\infty ,d)\cup (d,+\infty )}$，而“${\displaystyle A}$中有最大数、${\displaystyle A'}$中有最小数”的情况就是 ${\displaystyle (-\infty ,d]\cap [d,+\infty )}$，中间的分划点 d 同时（不合法地）属于两边集合。

1. 将所有小于或等于0的有理数划分为集合${\displaystyle A}$，将所有余下的有理数（即大于0的有理数）划分为集合${\displaystyle A'}$，则${\displaystyle A|A'}$是一个分划，并属于上述分类中的第1种情形。
2. 将所有小于0的有理数划分为集合${\displaystyle A}$，将所有余下的有理数（即大于或等于0的有理数）划分为集合${\displaystyle A'}$，则${\displaystyle A|A'}$是一个分划，并属于上述分类中的第2种情形。
3. 将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数（即满足${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ,a\leq 0,a^{2}\leq 3}$的数）划分到集合${\displaystyle A}$，将余下的有理数（即其平方大于3的正有理数）划分到集合${\displaystyle A'}$，则${\displaystyle A|A'}$是一个分划，并属于上述分类中的第3种情形，此时分划${\displaystyle A|A'}$定义了无理数${\displaystyle {\sqrt[{}]{3}}}$。

• 无理数
• 实数域的序

• 微积分学教程，(第一卷)(第8版)，第5、6页，ISBN 5-9221-0436-5，菲赫金哥尔茨 著，杨弢亮 叶彦谦 译，郭思旭 校，高等教育出版社