黑体辐射

古斯塔夫·基爾霍夫证明，对于任意一个物体，辐射本领${\displaystyle E(\nu ,T)}$与吸收率${\displaystyle A(\nu ,T)}$之比是一个与组成物体的物质无关的普适函数(以${\displaystyle f(\nu ,T)}$表示)

${\displaystyle {\frac {E(\nu ,T)}{A(\nu ,T)}}=f(\nu ,T)}$

其中，辐射本领${\displaystyle E(\nu ,T)}$为单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，所以，在${\displaystyle \Delta t}$的时间，从${\displaystyle \Delta S}$面积上发射出频率在${\displaystyle \nu --\nu +\Delta \nu }$范围内的能量为${\displaystyle E(\nu ,T)\Delta t\Delta S\Delta \nu }$。因此${\displaystyle E(\nu ,T)}$的单位为${\displaystyle J/m^{2}}$，可以证明，黑体辐射本领与辐射体的能量密度分布${\displaystyle u(\nu ,T)}$的关系为

${\displaystyle E(\nu ,T)={\frac {c}{4}}u(\nu ,T)}$

${\displaystyle u(\nu ,T)}$的单位为${\displaystyle J\cdot s/m^{3}}$ 吸收率${\displaystyle A(\nu ,T)}$则为照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额，由於黑体的吸收率为1，所以它的辐射本领

${\displaystyle E(\nu ,T)=f(\nu ,T)}$

这意味着黑体辐射本领等价于普适函数（与物质无关） 同时也可以以用${\displaystyle E(\lambda ,T)}$来表达辐射本领

${\displaystyle E(\lambda ,T)={\frac {\nu ^{2}}{c}}E(\nu ,T)}$

${\displaystyle E(\lambda ,T)}$的单位为${\displaystyle J/m^{3}\cdot s}$[1][2][3][4][5]

用于描述在任意温度${\displaystyle T\,}$下，从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式。这里辐射率是频率${\displaystyle \nu }$的函数[6]：

${\displaystyle I(\nu ,T)d\nu =\left({\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}\right){\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }$

各個物理量的意義

${\displaystyle I\,}$：辐射率，在单位时间内从单位表面积和单位立体角内以单位频率间隔或单位波长间隔辐射出的能量, [J·s ^-1·m^-2·sr ^-1·Hz ^-1];

${\displaystyle h\,}$ : 普朗克常数, [J·s ];

${\displaystyle c\,}$ : 光速, [m/s ];

${\displaystyle k\,}$ : 玻尔兹曼常数, [J /K ];

${\displaystyle \nu \,}$ : 電磁波的频率, [Hz ];

${\displaystyle T\,}$ :黑体的温度, [K ].

維恩位移定律表述了不同溫度的黑體波譜之間的聯繫。一旦某一個溫度下的黑體波譜形狀已知，則可通過維恩位移定律推導出同一黑體在其它溫度下的波譜形狀。

維恩位移定律計算出黑體輻射強度達到最大時的波長，${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }}$，這個物理量只和黑體的溫度相關：

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }={\frac {b}{T}}}$

其中b为比例常数，称为维恩位移常数，数值等于2.897 7721(26)×10^–3 m K（2010年国际科技数据委员会推荐值，括号中为68.27%置信度下的不确定尾数）。

注意到強度的峰值可以表達為單位波長強度或是單位頻率強度，在維恩位移定律中使用的是單位波長強度的表達式，而在上面的普朗克黑體輻射定律中則使用的是單位頻率強度。單位頻率能量達到最大時的波長為

${\displaystyle \lambda '_{\mathrm {max} }={\frac {5.1\times 10^{-3}{\mbox{ m·K}}}{T}}}$

這條定理指出，一個黑體表面單位面積放出的能量正比於其絕對溫度的4次方：

${\displaystyle j^{\star }=\sigma T^{4},}$

其中 ${\displaystyle j^{\star }}$：單位面積单位时间所放出的總能量，[${\displaystyle J\cdot {s^{-1}}\cdot {m^{-2}}}$ ]
${\displaystyle T}$ :黑體的絕對溫度，[K ]
${\displaystyle \sigma }$：斯特藩-玻爾茲曼常數，

${\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670400(40)\times 10^{-8}\,J\cdot s^{-1}\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}.}$

地球（雲層，大氣和地面）的長波熱輻射強度

行星的溫度主要和以下幾個因素相關：

• 外來的輻射（比如来自某個恆星）
• 本身放出的輻射（比如地球自身紅外輻射）
• 反照率（行星反射的輻射）
• 溫室效應（只針對有大氣的行星）
• 行星自身產生的能量（由於放射性衰變，潮汐加熱和克赫歷程）

所有的輻射，無論是行星內部產生的，其他恆星還是其本身放出的，對行星的溫度都有很重要的影響。以下的推導即著重討論輻射。

首先使用斯特藩-玻爾茲曼定律得到太陽放射出的總功率（能量/秒）：

可以認為地球受到太陽照射的地區仅等於一個二維的圆形面積而非整個球面。

${\displaystyle P_{Semt}=\left(\sigma T_{S}^{4}\right)\left(4\pi R_{S}^{2}\right)\qquad \qquad (1)}$

其中

${\displaystyle \sigma \,}$：斯特藩-玻尔兹曼常数

${\displaystyle T_{S}\,}$： 太陽的表面溫度

${\displaystyle R_{S}\,}$： 太陽的半徑

太陽平均的向各個方向放出能量，因此，地球實際上只是接受到其中很小的一部分。這部分能量為（指接觸到大氣層外部）：

${\displaystyle P_{SE}=P_{Semt}\left({\frac {\pi R_{E}^{2}}{4\pi D^{2}}}\right)\qquad \qquad (2)}$

其中

${\displaystyle R_{E}\,}$ :地球的半徑

${\displaystyle D\,}$：天文單位， 太陽與地球的平均距離

由於本身的高溫，太陽發出的射線大多數屬於紫外線和可見光（UV-Vis）頻率範圍。在這個頻率範圍內，地球會反射一部分能量，其數量為${\displaystyle \alpha }$，即地球對UV-Vis範圍射線的反照率。反過來，即地球吸收了${\displaystyle 1-\alpha }$的太陽光，並反射了剩下的。地球和其大氣層所吸收的能量為：

${\displaystyle P_{abs}=(1-\alpha )\,P_{SE}\qquad \qquad (3)}$

雖然地球僅僅以一個面積為${\displaystyle \pi R^{2}}$的圓形區域進行吸收，但是它同時以一個球體的形態向各個方向放出能量。假設地球是一個完全黑體，它將遵循斯特藩-玻爾茲定理：

${\displaystyle P_{emt\,bb}=\left(\sigma T_{E}^{4}\right)\left(4\pi R_{E}^{2}\right)\qquad \qquad (4)}$

其中${\displaystyle T_{E}}$是地球的溫度。由於地球的溫度明顯低於太陽，其放射的多為光系的紅外線（IR）部分。在這個頻率範圍內，地球會放出黑體總放射波的一部分，大約為${\displaystyle {\overline {\epsilon }}}$，${\displaystyle {\overline {\epsilon }}}$是紅外線頻率的平均放射率。因此地球和其大氣層實際放出的能量為：

${\displaystyle P_{emt}={\overline {\epsilon }}\,P_{emt\,bb}\qquad \qquad (5)}$

假設地球處於熱平衡，則吸收的能量等於放射的能量：

${\displaystyle P_{abs}=P_{emt}\qquad \qquad (6)}$

代入所有關於太陽和地球能量的表達式（1-5）可以得到：

${\displaystyle T_{E}=T_{S}{\sqrt {\frac {R_{S}{\sqrt {\frac {1-\alpha }{\overline {\epsilon }}}}}{2D}}}}$

換句話說，考慮到所有的估計值，地球的溫度與下列因素有關：太陽的表面溫度，太陽的半徑，日地間距，以及地球的反照率和紅外發射率。

如果代入對太陽和地球的測量值：

${\displaystyle T_{S}=5778\ \mathrm {K} ,}$[15]

${\displaystyle R_{S}=6.96\times 10^{8}\ \mathrm {m} ,}$[15]

${\displaystyle D=1.496\times 10^{11}\ \mathrm {m} ,}$[15]

${\displaystyle \alpha =0.306\ }$[14]

並將平均放射率設為單位量，可以得到地球的“有效溫度”為：

${\displaystyle T_{E}=}$ 254.356 K or -18.8 ℃.

這個溫度值是基於地球是一個完全黑體的假設，忽略溫室效應並認為地球的反照率完全不變的基礎上得到的。而實際上地球僅是非常接近一個完美黑體，所以必須將估計溫度定為比有效溫度高出好幾度。如果想要估計地球在沒有大氣層的情況下的溫度，可以使用月球的反照率和發射率進行計算。月球的反照率和發射率大約為0.1054[16]和0.95[17]， 因此，可以得到這種情況下的溫度約為1.36 ℃. 地球的平均反照率的估計值在0.3–0.4之間，由此可以得到不同的估計溫度。進行計算時相較於太陽的溫度，尺寸和日地距離，人們更加常用日照常量（總日照量密度）。比如使用0.4為反照率並使用日照量密度1400 W m⁻²，可以得到約為245K的地球溫度。[18]同理，如果使用0.3的反照率以及1372 W m⁻²的日照常量，地球溫度為255 K。[19][20]