黑体辐射本领

实验室测得黑体辐射本领${\displaystyle E(\nu ,T)}$与${\displaystyle \lambda }$的关系如图

普朗克定律描述的黑体辐射在不同温度下的频谱

由维恩根据热力学第二定律推出的辐射本领为

${\displaystyle E(\lambda ,T)={\frac {C_{1}}{\lambda ^{5}}}c^{4}e^{-C_{2}\cdot {\frac {c}{\lambda T}}}}$

其中${\displaystyle c}$是光速,${\displaystyle C_{1},C_{2}}$是常数。

瑞利-金斯定律[1][2]：瑞利和金斯根据电动力学和统计力学严格导出的辐射本领为：

${\displaystyle E(\lambda ,T)={\frac {2\pi c}{\lambda ^{4}}}kT}$

其中,k是波尔茨曼常数

“紫外灾变”：在经典统计理论中，能量均分定理预言黑体辐射的强度在紫外区域会发散至无穷大，这和事实严重违背

从图中可以很容易得出只有当${\displaystyle \lambda T>>10^{-2}m\cdot K}$时，这个公式才符合实验结果,当${\displaystyle |lambda\to 0}$的时候${\displaystyle E\to \infty }$，明显与实验数据不符，造成了所谓的紫外灾难。而维恩的公式仅在低波才符合实验结果。所以这两个公式都不能完全符合实验室所测得的结果。

在统计力学与电动力学可以得出黑体辐射本领公式

${\displaystyle {\begin{cases}E(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}(e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}})\\E(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}(e^{\frac {hv}{kT}}-1}})\end{cases}}}$

[3][4][5][6][7]

普朗克于1900[8]年假设能量是不连续的，即

${\displaystyle E=nh\nu ,n=0,1,2,...}$

h是普朗克常数 由经典的能量分布概率(玻尔兹曼概率分布）可以得到：

${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {E}{kT}}}\,\mathrm {d} E}{\int _{\infty }^{0}e^{-{\frac {E}{kT}}}\,\mathrm {d} E}}}$

可得到平均能量为

${\displaystyle {\bar {E}}={\frac {\int _{\infty }^{0}Ee^{-{\frac {E}{kT}}}\,\mathrm {d} E}{\int _{\infty }^{0}e^{-{\frac {E}{kT}}}\,\mathrm {d} E}}=kT}$

但是根据普朗克的假设，则能量分布概率应该是

${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {nh\nu }{kT}}}}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {nh\nu }{kT}}}}}}$

然后就可以得到

${\displaystyle {\bar {E}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }nh\nu e^{-{\frac {nh\nu }{kT}}}}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {nh\nu }{kT}}}}}=-h\nu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }e^{-nx}}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-nx}}}={\frac {h\nu }{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}}$

最后就可以把黑体辐射本领公式改为

${\displaystyle {\begin{cases}E(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}(e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}})\\E(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}(e^{\frac {hv}{kT}}-1}})\end{cases}}}$

• 黑体 (热力学)
• 维恩位移定律
• 维恩近似
• 瑞利-金斯定律
• 盒中氣體
• 普朗克黑体辐射定律