B样条
在数学的子学科数值分析裡,B-样条是样条曲线一种特殊的表示形式。它是B-样条基曲线的线性组合。B-样条是貝茲曲線的一种一般化,可以进一步推广为非均匀有理B样条(NURBS),使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。
术语 B样条是Isaac Jacob Schoenberg创造的,B 是基(basis)样条的缩略。
定义
给定m+1 个节点ti ,分布在[0,1]区间,满足
一个n次B样条是一个参数曲线:
它由n次B样条基(basis B-spline)组成
- .
Pi称为控制点或de Boor点. m+1个n次B样条基可以用Cox-de Boor递归公式 定义
当节点等距,称B样条为均匀(uniform)否则为非均匀(non-uniform)。
均匀B样条曲线
当B样条是均匀的时候,对于给定的n,每个B样条基是其他基的平移拷贝而已。一个可以作为替代的非递归定义是
满足
满足
其中
是截断幂函数(truncated power function)
注解
当节点数和多项式次数相等时,B样条退化为貝茲曲線。即函数的形状由节点的位置决定。缩放或者平移节点向量不会改变基函数。
样条包含在它的控制点的凸包中
n次B样条的一个基
仅当在区间[ti, ti+n+1]上非0。就是
换句话说,如果我们操作一个控制点,我们只改变曲线在局部的行为,而不像Bezier曲线那样是全局行为。
例子
线性B样条
线性B样条定义在两个相邻的节点段上,在节点连续但不可微。
三次B样条
一个片断上的B样条的表达式可以写作:
其中Si是第i个B样条片断而P是一个控制点集,i和k是局部控制点索引。控制点的集合会是的集合,其中是比重,当它增加时曲线会被拉向控制点,在减小时则把曲线远离该点。
片段的整个集合m-2条曲线()由m+1个控制点()定义,作为t上的一个B样条可以定义为
其中i是控制点数,t是取节点值的全局参数。这个表达式把B样条表示为B样条基函数的线性组合,这也是这个名称的原因。
有两类B样条-均匀和非均匀。非均匀B样条相邻控制点间的距离不一定要相等。一个一般的形式是区间随着插入控制点逐步变小到0。
B样条曲线及曲面相关算法
关于此处涉及的算法,在著作[1]中有针对Bézier、B样条(B-spline)以及非均匀有理B样条(Nurbs)的相关算法的详细数学表达和程序实现方法。
求导
在几何处理中,对参数曲线及曲面的求导是最基本的运算之一,由于参数表达的特性,在给定点的切线及法线可通过求导直接得到。 先来考察曲线的情形:采用本页定义中的B样条曲线表达式 对参数进行求导:
参考
本條目部分或全部内容出自以GFDL授權發佈的《自由線上電腦詞典》(FOLDOC)。
- Les Piegl and Wayne Tiller: The NURBS Book, Springer-Verlag 1995-1997 (2nd ed).