e的π次方

$e^{\pi }\,$ 是一个数学常数。与e和π一样，它是一个超越数。这可以用格尔丰德-施奈德定理来证明，并注意到：

e^{\pi }\;=\;(e^{i\pi })^{-i}\;=\;(-1)^{-i}

其中i是虚数单位。由于−i是代数数，但肯定不是有理数，因此e^π是超越数。这个常数在希尔伯特第七问题中曾提到过。一个相关的常数是 $2^{\sqrt {2}}$ ，2的根号2次方，又称为格尔丰德-施奈德常数。相关的值 $\pi +e^{\pi }\,$ 也是无理数[1]。

数值

在十进制中，e^π大约为

e^{\pi }\approx 23.140692632\dots \,.

它的值可以用以下迭代来求出。定义

k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}

其中 $\scriptstyle k_{0}\,=\,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.$

则

\left({\frac {4}{k_{N}}}\right)^{2^{1-N}}

迅速收敛于 $e^{\pi }$ 。

n维球体的体积由以下公式给出：

V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.

所以，任何一个偶数维的单位球具有体积：

V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}.

把所有偶数维的单位球的体积加起来，得出：[2]

\sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=e^{\pi }.\,

Nesterenko, Y. . Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1. 1996, 322 (10): 909–914.
Connolly, Francis. University of Notre Dame

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