格尔丰德-施奈德定理

如果α和β是代数数，其中α≠0且≠1，且β不是有理数，那么任何${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\exp\{\beta \log \alpha \}}$的值一定是超越数。

• ${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle \beta }$不限于实数，它们可以是复数。當虛部不為零時，視為無理數，既使實部和虛部皆為有理數。
• 一般地，${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\exp\{\beta \log \alpha \}}$是多值的，其中“log”表示复数对数。
• 该定理的一个等价的表述是：如果${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle \gamma }$是非零的代数数，那么${\displaystyle (\log \gamma )/(\log \alpha )}$要么是有理数，要么是超越数。
• 如果没有${\displaystyle \alpha }$，${\displaystyle \beta }$是代数数的限制，这个定理就不一定成立。例如，如果${\displaystyle \alpha =3}$，${\displaystyle \beta =\log 2/\log 3}$，那么${\displaystyle \alpha ^{\beta }=2}$，它是代数数。

利用这个定理，立刻就可以推出以下实数的超越性：

• ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$（格尔丰德-施奈德常数）和${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$。
• ${\displaystyle e^{\pi }}$（格尔丰德常数），以及${\displaystyle e^{\frac {-\pi }{2}}=i^{i}}$（这是因为${\displaystyle e^{\pi }=e^{-i\ln(-1)}}$是${\displaystyle (-1)^{-i}}$的值之一）。

• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理
• Schanuel猜想，如果证明了这个猜想，就可以同时推出格尔丰德-施奈德定理和林德曼-魏尔斯特拉斯定理。

• Irrational Numbers, by Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.