E (数学常数)
,作为數學常數,是自然對數函數的底數,亦称自然常数、自然底数,或是歐拉數(),以瑞士數學家歐拉命名;還有個較少見的名字納皮爾常數,用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一个无限不循环小数,數值約是(小數點後20位, A001113):
命名 | |
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數字 | 2.7182818284 |
名稱 | 歐拉數 納皮爾常數 |
識別 | |
種類 | 無理數 超越數 |
發現 | 雅各布·伯努利 |
代號 | |
位數數列編號 | A001113 |
定義 | |
連分數 | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...] |
表示方式 | |
值 | 2.7182818284 |
無窮級數 | |
的数 | ||
基本 | ||
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延伸 | ||
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其他 | ||
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歷史
第一次提到常數,是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數,只有由它為底計算出的一張自然對數列表,通常認為是由威廉·奧特雷德製作。第一次把看為常數的是雅各布·伯努利,他嘗試計算下式的值:
- 。
已知的第一次用到常數,是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信,以表示。1727年歐拉開始用來表示這常數;而第一次在出版物用到,是1736年歐拉的《力學》()。雖然往後年日有研究者用字母表示,但較常用,終於成為標準。
用表示的原因確實不明,但可能因為是「指數」()一字的首字母。另一看法則稱有其他經常用途,而是第一個可用字母。
性質
很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數的重要性,在於它是唯一的函數(零多項式函數除外)與自身導數相等(乘以常數,最一般的函數形式為,為任意常數)。即:
- 。
- 的泰勒級數為
為複數時依然成立,因此根據及的泰勒級數,得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式:
當的特例是歐拉恆等式:
此式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。
即棣莫弗公式。
- 是無理數和超越數(見林德曼-魏尔斯特拉斯定理)。這是第一個獲證為超越數的数,而非故意構造的(比較劉維爾數);由夏爾·埃爾米特()於1873年證明。有猜想它為正規數。
- 当时函數有最大值。
- 的無窮連分數展開式有個有趣的模式,可以表示如下( A003417)
就像以下的展開式:
無理數證明
反證法
證明是無理數可以用反證法。假設是有理數,則可以表示成 ,其中為正整數。以的無窮級數展開式可以得出矛盾。
考慮數字
- ,
以下將推導出是小於1的正整數;由於不存在這樣的正整數,得出矛盾,所以得證是無理數。
- 是整數,因為
- 。
- 是小於1的正數,因為
- 。
但是0與1之間(不含0與1)不存在有整數,故原先假設矛盾,得出為無理數。
二項式定理
視為存在的數值,所以用二項式定理可證出:
已知位数
日期 | 位数 | 计算者 |
---|---|---|
1748年 | 18 | 李昂哈德·歐拉 |
1853年 | 137 | William Shanks |
1871年 | 205 | William Shanks |
1884年 | 346 | J. M. Boorman |
1946年 | 808 | ? |
1949年 | 2,010 | 約翰·馮·諾伊曼 |
1961年 | 100,265 | Daniel Shanks & 約翰·威廉·倫奇 |
1978年 | 116,000 | 史蒂芬·蓋瑞·沃茲尼克 |
1994年 | 10,000,000 | Robert Nemiroff & Jerry Bonnell |
1997年5月 | 18,199,978 | Patrick Demichel |
1997年8月 | 20,000,000 | Birger Seifert |
1997年9月 | 50,000,817 | Patrick Demichel |
1999年2月 | 200,000,579 | Sebastian Wedeniwski |
1999年10月 | 869,894,101 | Sebastian Wedeniwski |
1999年11月21日 | 1,250,000,000 | Xavier Gourdon |
2000年7月10日 | 2,147,483,648 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2000年7月16日 | 3,221,225,472 | Colin Martin、Xavier Gourdon |
2000年8月2日 | 6,442,450,944 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2000年8月16日 | 12,884,901,000 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2003年8月21日 | 25,100,000,000 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2003年9月18日 | 50,100,000,000 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2007年4月27日 | 100,000,000,000 | 近藤茂、Steve Pagliarulo |
2009年5月6日 | 200,000,000,000 | 近藤茂、Steve Pagliarulo |
2010年2月21日 | 500,000,000,000 | 余智恒(Alexander J. Yee) |
2010年7月5日 | 1,000,000,000,000 | 近藤茂、余智恒(Alexander J. Yee) |
2014年11月15日 | 1,048,576,000,000 | David Galilei Natale |
諧取
- 在Google2004年的首次公開募股,集資額不是通常的整頭數,而是$2,718,281,828,這當然是取最接近整數的十億美元。(顺便一提,Google2005年的一次公開募股中,集資額是$14,159,265,与圆周率有关)
- Google也是首先在矽谷心臟地帶,接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版 的幕後黑手,它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com(在的連續數字中第一個發現的十位質數.com)。解決了這問題(第一個中的十位質數是7427466391,出奇地到很後才出現,由第100個數字開始),進入網站後還有個更難的題目要解決,最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束,上述網站都已關閉。
- 著名電腦科學家高德納的软件Metafont的版本號碼趨向(就是說版本號碼是2,2.7,2.71,2.718等),与之相对的有TeX的版本号是趋向于圆周率的。
参考文献
- Fourth, Tokyo: Iwanami Shoten, 2007, ISBN 978-4-00-080309-0, MR 2383190 (日语) 142.D
- Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation 页面存档备份,存于
- Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast 页面存档备份,存于
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