HNN擴張

數學上,HNN擴張英語:)是組合群論中的一個基本構造法。HNN擴張是三名數學家Graham HigmanBernhard NeumannHanna Neumann在1949年的論文Embedding Theorems for Groups[1]提出。給定一個中兩個同構子群及其間的群同構,這個構造法將這個群嵌入到另一個群中,令到所給定的群同構在新的群中成為共軛。

構造法

G為群,有展示G = 〈S|R〉,又若 α : HKG的兩個子群間的群同構。設t為不在S中的新符號,定義

Gα稱為G相對於α的HNN擴張。原本的群G稱為Gα基群,而子群HK稱為相伴子群。新的生成元t稱為穩定字.

基本性質

由於群Gα包念了G的所有生成元和關係元,所以將G的生成元等同於Gα的生成元,便誘導出從GGα的一個自然的群同態。Higman、Neumann、Neumann證明了這個群同態是群同構,因而是GGα中的嵌入。從上可得出一個結論是一個群中兩個同構的子群,必定在某個母群中是共軛子群。這個構造法的原來目的是要證明這個結論。

Britton引理

HNN擴張的一個基礎性質是一條正規形的定理,稱為Britton引理[2]Gα如上,w是在Gα中如下的一個乘積:

Britton引理可表述為:

Britton引理 若在Gαw = 1,則

  • n = 0,且在Gg0 = 1
  • 或是n > 0,且對某個i ∈ {1, ..., n−1}有下列兩者之一
  1. εi = 1, εi+1 = −1, giH,
  2. εi = −1, εi+1 = 1, giK.

Britton引理用逆反命題可表述為:

Britton引理(另一形式)w滿足以下其中一項

  • n = 0,且g0 ≠ 1 ∈ G
  • n > 0,且w不包含如下的子字串:tht−1,其中hH;及t−1kt,其中kK

則在Gαw ≠ 1。

Britton引理的結果

HNN擴張的大多數基本性質,都可以從Britton引理得出。這些結果包括:

  • GGα的自然群同態內射,所以可以將Gα視作包含G為子群。
  • Gα中任何一個有限元素,是共軛G中的某個元素。
  • Gα中任一個有限子群都共軛於G中某個有限子群.
  • HGKG,則Gα有子群同構於秩2的自由群

應用

HNN擴張是Higman證明Higman嵌入定理的主要工具。這定理說任何有限生成遞歸展示群可嵌入到一個有限展示群中。Novikov-Boone定理指存在一個有限展示群,有算法不可判定(英語:)的字問題,這定理的現代證明大多數都倚賴於HNN擴張。

HNN擴張和帶共合的自由積兩者都是討論在作用的群的Bass–Serre理論的基本組件。[3]

推廣

HNN擴張是群的圖基本群的初等例子。

參考

  1. Higman, Graham; B. H. Neumann, Hanna Neumann. (PDF). Journal of the London Mathematical Society. 1949, s1–24 (4): 247–254 [2008-03-15]. doi:10.1112/jlms/s1-24.4.247. (原始内容存档 (PDF)于2019-10-17).
  2. Roger C. Lyndon and Paul E. Schupp. Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, New York, 2001. "Classics in Mathematics" series, reprint of the 1977 edition. ISBN 978-3-540-41158-1; Ch. IV. Free Products and HNN Extensions.
  3. Jean-Pierre Serre. Trees. Translated from the French by John Stillwell. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. ISBN 3-540-10103-9
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