RLC电路

RLC电路是一种由电阻（R）、电感（L）、电容（C）组成的电路结构。LC电路是其简单的例子。RLC电路也被称为二阶电路，电路中的电压或者电流是一個二阶微分方程的解，而其係數是由电路结构决定。

串联RLC电路：电阻、电感和电容

若电路元件都视为线性元件时，一个RLC电路可以被视作电子谐波振荡器。

这种电路的固有频率一般表示为：（单位：赫兹Hz）

f_{c}={1 \over 2\pi {\sqrt {LC}}}

RLC电路常用來作带通滤波器或带阻滤波器，其Q因子可以由下式得到：

Q={f_{c} \over B_{W}}={2\pi f_{c}L \over R}={1 \over {\sqrt {R^{2}C/L}}}

RLC电路的组成结构一般有两种：分別是串联型及并联型。

动画演示了LC电路（无电阻的RLC电路）的工作。电荷在电容器极板和电感之间来回传递。能量在电容器的电场 (E) 和电感的磁场 (B) 之间来回振荡。 RLC电路工作情况类似，不同之处在于，由于电路中的电阻，随着时间变化振荡电流衰减至零。

RLC串聯電路

圖 1. RLC串聯電路
V - 電源電壓
I - 電路電流
R - 電阻
L - 電感
C - 電容

在此电路中，三个元件均与电压以串联方式连接。其主要的微分方程可将三个元件的本构方程代入基尔霍夫电压定律（KVL）获得。由基尔霍夫电压定律：

v_{R}+v_{L}+v_{C}=v(t)\,

其中 $\textstyle v_{R},v_{L},v_{C}$ 分别为R、L、C两端的电压， $\textstyle v(t)$ 为随时间变化的电源的电压。将本构方程代入得到：

RI(t)+L{{dI} \over {dt}}+{1 \over C}\int _{-\infty }^{\tau =t}I(\tau )\,d\tau =v(t)

在电源电压为常数的情况下，对上式求导，并且除以L，得到以下二阶微分方程：

{{d^{2}I(t)} \over {dt^{2}}}+{R \over L}{{dI(t)} \over {dt}}+{1 \over {LC}}I(t)=0

此方程可以写成更常用的形式：

{{d^{2}I(t)} \over {dt^{2}}}+2\alpha {{dI(t)} \over {dt}}+{\omega _{0}}^{2}I(t)=0

$\alpha \,$ 称为“衰减量”，用于衡量当移除外部輸入后，此电路的瞬态响应衰减的速率。 $\omega _{0}\,$ 为角共振频率。[1]此二系数由下式给出：[2]

\alpha ={R \over 2L}

，

\omega _{0}={1 \over {\sqrt {LC}}}

阻尼系数 $\zeta$ 是另一个常用的参数，定义为 $\alpha \,$ 与 $\omega _{0}\,$ 的比值：

\zeta ={\frac {\alpha }{\omega _{0}}}

阻尼系数也可以由R、L、C求得：

\zeta ={R \over 2}{\sqrt {C \over L}}

瞬态响应

图中显示了串联RLC电路的欠阻尼和过阻尼响应。临界阻尼是用粗红色曲线画出的。这些作图统一都是在 L = 1, C = 1 且

\scriptstyle \omega _{0}=1\,

情况下。

根据不同的阻尼系数 $\zeta$ 的值，该微分方程的解法有三种不同的情况，分别为：欠阻尼（ $\scriptstyle \zeta <1\,$ ），过阻尼（ $\scriptstyle \zeta >1\,$ ），以及临界阻尼（ $\scriptstyle \zeta =1\,$ ）。该微分方程的特征方程为：

s^{2}+2\alpha s+{\omega _{0}}^{2}=0

该方程的根为：

s_{1}=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-{\omega _{0}}^{2}}}

s_{2}=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-{\omega _{0}}^{2}}}

该微分方程的通解为两根指数函数的线性叠加：

i(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}

系数A₁以及 A₂由具体问题的边界条件给出。

过阻尼响应

过阻尼响应（ $\scriptstyle \zeta >1\,$ ）为：[3]

i(t)=A_{1}e^{-\omega _{0}(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}})t}+A_{2}e^{-\omega _{0}(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}})t}

过阻尼响应是一个瞬态电流无振荡的衰减。[4]

欠阻尼响应

欠阻尼响应（ $\scriptstyle \zeta <1\,$ ）为：[5]

i(t)=B_{1}e^{-\alpha t}\cos(\omega _{d}t)+B_{2}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{d}t)\,

通过三角恒等式，这两个三角函数可用一个有相位的正弦函数表达：[6]

i(t)=B_{3}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{d}t+\varphi )\,

欠阻尼响应是一个频率为 $\omega _{d}\,$ 的衰减的振荡。振荡衰减的速率为 $\alpha$ 。指数里的 $\alpha$ 描述了振荡的包络函数。B₁ 以及B₂ （或第二种形式中的 B₃ 以及相位差 $\varphi \,$ ）为任意常数，由边界条件确定。频率 $\omega _{d}\,$ 由下式给出：[5]

\omega _{d}={\sqrt {{\omega _{0}}^{2}-\alpha ^{2}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}

这就是所谓的阻尼共振频率或阻尼固有频率。它是电路在无外部源驱动时自然振动的频率。谐振频率 $\omega _{0}\,$ 是电路在有外部源驱动时的谐振频率，为了便于区分常称作无阻尼谐振频率。[7]

临界阻尼响应

临界阻尼响应（ $\scriptstyle \zeta =1\,$ ）为：[8]

i(t)=D_{1}te^{-\alpha t}+D_{2}e^{-\alpha t}\,

拉普拉斯域

可以利用拉普拉斯轉換分析RLC串聯電路的交流暫態及穩態行為[9]。若上述電壓源產生的波形，在拉普拉斯轉換後為V(s)（其中s為複頻率 $s=\sigma +i\omega \,$ ），則在拉普拉斯域中應用基爾霍夫電壓定律：

V(s)=I(s)\left(R+Ls+{\frac {1}{Cs}}\right)

其中I(s)為拉普拉斯轉換後的電流，求解I(s)：

I(s)={\frac {1}{R+Ls+{\frac {1}{Cs}}}}V(s)

在重新整理後，可以得到下式：

I(s)={\frac {s}{L\left(s^{2}+{R \over L}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}V(s)

拉普拉斯导纳

求解拉普拉斯导纳Y(s)：

Y(s)={I(s) \over V(s)}={\frac {s}{L\left(s^{2}+{R \over L}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}

可以利用以上章節定義的參數α及ω_o來簡化上式，可得：

Y(s)={I(s) \over V(s)}={\frac {s}{L\left(s^{2}+2\alpha s+{\omega _{0}}^{2}\right)}}

極點和零點

Y(s) 的零点是使得 $Y(s)=0$ 的s：

s=0\,

及

|s|\rightarrow \infty

Y(s) 的极点是使得 $Y(s)\rightarrow \infty$ 的s，求解二次方程，可得：

s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-{\omega _{0}}^{2}}}

Y(s)的极點即為前文中提到微分方程之特徵方程的根 $s_{1}$ 及 $s_{2}$ 。

正弦稳态

正弦稳态可通过令 $s=j\omega$ 来表示，其中 $j$ 为虚数单位。

将此代入上面方程的幅值中：

\displaystyle |Y(s=j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}}.

以 ω 为变量的电流的函数为

\displaystyle |I(j\omega )|=|Y(j\omega )||V(j\omega )|.\,

有一个峰值 $|I(j\omega )|$ 。在此特殊情况下，这个峰值中的 ω 等于无阻尼固有谐振频率：[10]

\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.

RLC並聯電路

圖 5. RLC 並聯電路
V - 電源電壓
I - 電路電流
R - 電阻
L - 電感
C - 電容

RLC並聯電路的特性可以利用電路的對偶性，將RLC並聯電路視為RLC串聯電路的對偶阻抗來處理，就可以用類似RLC串聯電路的分析方式來分析RLC並聯電路。

RLC並聯電路的衰减量 $\alpha \,$ 可以用下式求得[11]：

\alpha ={1 \over 2RC}

而其阻尼系数為：

\zeta ={1 \over 2R}{\sqrt {L \over C}}

若不考慮 $1/2$ 的係數，RLC並聯電路的阻尼系数恰好是RLC串聯電路阻尼系数的倒數。

頻域

圖 6. 正弦稳态分析

以R = 1 歐姆、C = 1 法拉、L = 1 亨利、V = 1.0 伏特來進行正規化

將並聯各元件的導納相加，即為此電路的導納：

{1 \over Z}=

{1 \over Z_{L}}+{1 \over Z_{C}}+{1 \over Z_{R}}=

{1 \over {j\omega L}}+{j\omega C}+{1 \over R}

電容、電阻及電感並聯後，在共振頻率的阻抗為最大值，和電容、電阻及電感串聯的情形恰好相反，RLC並聯電路是抗共振電路（antiresonator）。

右圖中可以看出若用定電壓驅動時，電流的頻率響應在共振頻率 $\omega _{0}={1 \over {\sqrt {LC}}}$ 處有最小值。若用定電流驅動，電壓的頻率響應在共振頻率處有最大值，和RLC串聯電路中，電流的頻率響應圖形類似。

其他构造

图7 RLC并联电路，电阻和电感串联

图8 RLC串联电路，电阻和电容并联

如图7所示，电阻与电感串联的并联LC电路是有必要考虑到线圈卷线的电阻时经常遇到的一种拓扑结构。并联LC电路经常用于带通滤波中，而 Q 因子主要由此电阻决定。电路的谐振频率为，[12]

\omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}}}

这是电路的谐振频率，定义为导纳虚部为零时的频率。在特征方程的一般形式（此电路与之前的相同）中出现的频率

s^{2}+2\alpha s+{\omega '_{0}}^{2}=0

不是相同的频率。在这种情况下是固有的无阻尼谐振频率[13]

\omega '_{0}={\sqrt {\frac {1}{LC}}}

阻抗幅值最大时的频率 $\omega _{m}$ 为，[14]

\omega _{m}=\omega '_{0}{\sqrt {{\frac {-1}{Q_{L}^{2}}}+{\sqrt {1+{\frac {2}{Q_{L}^{2}}}}}}}

其中 $Q_{L}={\frac {\omega '_{0}L}{R}}$ 是线圈的品质因数。这可以下式很好地近似[14]

\omega _{m}\approx \omega '_{0}{\sqrt {1-{\frac {1}{2Q_{L}^{4}}}}}

此外，精确的最大阻抗幅值由下式给出，[14]

|Z|_{max}=RQ_{L}^{2}{\sqrt {\frac {1}{2Q_{L}{\sqrt {Q_{L}^{2}+2}}-2Q_{L}^{2}-1}}}

.

$Q_{L}$ 值比1大时，可以用下式很好地近似[14]

|Z|_{max}\approx {RQ_{L}^{2}}

.

同样，电阻与电容并联的串联LC电路可用于有耗介质的电容器。这种构造如图8所示。在这种情况下谐振频率（阻抗的虚部为零时的频率），由下式给出，[15]

\omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {1}{(RC)^{2}}}}}

而阻抗幅值最大时的频率 $\omega _{m}$ 为

\omega _{m}=\omega '_{0}{\sqrt {{\frac {-1}{Q_{C}^{2}}}+{\sqrt {1+{\frac {2}{Q_{C}^{2}}}}}}}

其中 $Q_{C}=\omega '_{0}{R}{C}$

参见

参考文献

引用

Nilsson and Riedel, p.308.
Agarwal and Lang, p.641.
Irwin, p.532.
Agarwal and Lang, p.648.
Nilsson and Riedel, p.295.
Humar, pp.223-224.
Agarwal and Lang, p. 692.
Nilsson and Riedel, p.303.
本章節是Lokenath Debnath, Dambaru Bhatta, Integral transforms and their applications, 2nd ed. Chapman & Hall/CRC, 2007, ISBN 1-58488-575-0,198-202頁的Example 4.2.13為基礎，不過為了和本文用的符號一致，有修改其中部份標示
Kumar and Kumar, Electric Circuits & Networks, p. 464.
Nilsson and Riedel, p.286.
Kaiser, pp. 5.26–5.27.
Agarwal and Lang, p. 805.
Cartwright, K. V.; Joseph, E. and Kaminsky, E. J. (PDF). The Technology Interface International Journal. 2010, 11 (1): 26–34 [2015-02-16]. （原始内容 (PDF)存档于2013-12-03）.
Kaiser, pp. 5.25–5.26.

来源

Anant Agarwal, Jeffrey H. Lang, Foundations of analog and digital electronic circuits, Morgan Kaufmann, 2005 ISBN 1-55860-735-8.
J. L. Humar, Dynamics of structures, Taylor & Francis, 2002 ISBN 90-5809-245-3.
J. David Irwin, Basic engineering circuit analysis, Wiley, 2006 ISBN 7-302-13021-3.
Kenneth L. Kaiser, Electromagnetic compatibility handbook, CRC Press, 2004 ISBN 0-8493-2087-9.
James William Nilsson, Susan A. Riedel, Electric circuits, Prentice Hall, 2008 ISBN 0-13-198925-1.

外部連結

串聯RLC交流電路Java模擬页面存档备份，存于

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[1] Nilsson and Riedel, p.308.

[2] Agarwal and Lang, p.641.

[3] Irwin, p.532.

[4] Agarwal and Lang, p.648.

[Nilsson295-5] Nilsson and Riedel, p.295.

[6] Humar, pp.223-224.

[7] Agarwal and Lang, p. 692.

[8] Nilsson and Riedel, p.303.

[9] 本章節是Lokenath Debnath, Dambaru Bhatta, Integral transforms and their applications, 2nd ed. Chapman & Hall/CRC, 2007, ISBN 1-58488-575-0,198-202頁的Example 4.2.13為基礎，不過為了和本文用的符號一致，有修改其中部份標示

[10] Kumar and Kumar, Electric Circuits & Networks, p. 464.

[11] Nilsson and Riedel, p.286.

[12] Kaiser, pp. 5.26–5.27.

[13] Agarwal and Lang, p. 805.

[Cartwright_et_al.-14] Cartwright, K. V.; Joseph, E. and Kaminsky, E. J. (PDF). The Technology Interface International Journal. 2010, 11 (1): 26–34 [2015-02-16]. （原始内容 (PDF)存档于2013-12-03）.

[15] Kaiser, pp. 5.25–5.26.