九九表

中國乘法表和其他的乘法表的分別：

• 古希腊、古埃及、古印度、古罗马没有进位制，原则上需要无限大的乘法表，因此不可能有九九表。例如希腊乘法表必须列出7×8，70×8，700×8，7000×8……[1]。相形之下，由于九九表基于十进位制，7×8=56，70×8=560，700×8=5600，7000×8=56000，只需7×8=56一项代表。
• 古巴比伦算术虽比希腊为早，却比希腊等幾個國家的算术优越，因为巴比伦算术有位值制。不过巴比伦算术采用60进位制，原则上一个「59×59」乘法表需要59*60/2=1770项；由于「59×59」乘法表太庞大，巴比伦人从来不用类似于九九表的「乘法表」[4]。不過，考古学家发现巴比伦人用独特的1×1=1,2×2=4,3×3=9……7×7=49，……9×9=81 ……16×16=256 …… 59×59=3481 的「平方表」。要计算两个数a,b的乘积，巴比伦人則依靠他们最擅長的代数学，a×b=((a+b)×(a+b)-a×a-b×b)/2。例如 7×9=((7+9)×(7+9)-7×7-9×9)/2=(256-49-81)/2=126/2=63.
• 古埃及没有乘法表。考古家发现，古埃及人是通累次迭加法来计算乘积的。例如计算 5×13，先将13+13得26，再迭加26+26=52，然后再加上13得65[5]。
• 古玛雅人用20进位制，跟现代世界通用的十进位制最接近。一個19×19乘法表有190项，比九九表的45项虽然大三倍多，但比巴比伦方法还是简便得多。可是考古学家至今还没有发现任何玛雅乘法表。

用乘法表进行乘法运算，并非进位制的必然结果。巴比伦有进位制，但它们并没有发明或使用九九表式的乘法表，而是发明用平方表法计算乘积。玛雅人的数学是西方古文明中最先进的，用20进位制，但也没有发明乘法表。可见从进位制到乘法表是一個不少的進步。

中国春秋战国时代不但发明了十进位制，还发明九九表。後来东传入高丽、日本，经过丝绸之路西传印度、波斯，继而流行全世界。十进位制和九九表是古代中国对世界文化的一项重要的贡献。今日世界各国較少使用希臘等國的乘法。

1. 九九表一般只用一到九这9个数字。
2. 九九表包含乘法的可交换性，因此只需要「八九七十二」，不需要“九八七十二”，9乘9有81组积，九九表只需要1+2+3+4+5+6+7+8+9 =45项积。明代珠算也有采用81組積的九九表。45项的九九表称为小九九，81项的九九表称为大九九。
3. 古代世界最短的乘法表。玛雅乘法表须190项，巴比伦乘法表须1770项，埃及、希腊、罗马、印度等国的乘法表须无穷多项；九九表只需45或81项。
4. 朗读时有节奏，便于记忆全表。
5. 九九表存在了至少三千多年。从春秋战国时代就用在筹算中運算，到明代則改良並用在算盘珠算上。现在，九九表也是小学算术的基本功。

明 程大位《算法统宗》算盘图中的九因

• 在中国古代文献中，九因歌最早见诸秦汉古籍——《管子》，“五七三十五为尺而至于泉”，“四七二十八尺”，“六七四十二尺”，“七八五十六尺”。[6]
• 《灵枢经》卷四：五八四十。[7]
• 《荀子·大略》 “六六三十六，三丈六尺”。
• 《战果策》 “昔周之伐殷，得九鼎，凡一鼎而九万人挽之，九九八十一万人”。
• 《大戴礼记 易本命》 “天一地二人三；三三而九，九九八十一，一主日，日数十，故人十月而生”。
• 《吕氏春秋》 “三七二十一，臣故曰君延年二十一岁”。
• 《春秋繁露》：二四八。
• 《贾谊新书》卷四：四六二十四。[8]
• 《周髀算经》：“矩出于九九八十一”。
• 《韩诗外传》中的九九歌故事：“齐桓公设庭燎，为士之欲造见者。期年而士不至。于是东野鄙人有以九九见者。桓公使戏之，曰：“九九足以见乎？”鄙人曰：“臣不以九九足以见也。君设庭燎以待士，期年而士不至。夫士之所以不至者，君，天下之贤君也，四方之士皆自以为不及君，故不至也。夫九九，薄能耳，而君犹礼之，况贤于九九者乎？夫太山不让砾石，江海不辞小流，所以成其大也。《诗》曰：‘先民有言，询于刍荛。’言博谋也。桓公曰：“善。”乃因礼之。四方之士相导而至矣”[9]。说明春秋时代九九歌已经很普通了，也间接说明在春秋时代，十进位制乘法已经存在了。
• 《九章算术》刘徽序：“昔在庖牺氏始作八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术”。
• 《淮南子》中有九九八十一，八九七十二至二九一十八8句。
• 《战国策》： 九九八十一，三七二十一。
• 《孔子家语》：九九八十一，八九七十二，七九六十三……二九一十八。[10]
• 《史记正义》：二七十四，二八十六，七七四十九，八八六十四。
• 《穆天子传》 卷一 ：五五二十五。
• 《夏侯陽算經》：“夫乘除之法先明九九”。
• 成书于北朝的《敦煌算书》和敦煌《九九術殘木簡》中也有九九乘法表。
• 宋洪迈著《容斋随笔》续笔卷七《俗语算数》中有：“三三如九，三四十二，二八十六，四四十六，三九二十七，四九三十六，六六三十六，五八四十，五九四十五，七九六十三，八九七十二，九九八十一，皆俗语算数，然《淮南子》中有之。”並說也见《左传》、《汉志》[11]。
• 宋 杨辉 《算法通变本末》：“先念九九合数 如一至九九八十一，自小至大。”
• 元 李冶 《测圆海镜》：“虽九九小数，后世必有知者”
• 元 朱世杰 《算学启蒙》 卷一 《释九数法》：“一一如一，一二如二，二二如四，一三如三，二三如六，三三如九，一四如四……九九八十一”。
• 明 程大位《算法统宗》：“九因：凡二至九粟位者用此置物为实以价为法呼九九合数。”
• 明 王素文《算学宝鉴》第一卷 九九合数：“一一如一，一二如二，二二如四，一三如三，二三如六，三三如九，一四如四……九九八十一”。

十九世纪末在中国新疆敦煌发现的汉简，经王国维考证，其中一片出土于流沙的汉简，是一个九九表的残简，从九乘九开始，读曰九九八十一，八九七十二，七九六十三，八八六十四、七八五十六、六八四十八…… 二二而四共1110个字。之所以以九开始，可能和中国古代《易经》中的崇拜「九」的观念有关，所以以九九开始為由，称为九九歌、九因歌、九九表。据日本数学史家上野清研究，中国的九九表和周易六十四卦的排列大有关系[12]。刘徽在《九章算术序》中说：

昔在庖牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术，以合六爻之变。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，恊律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称“隶首作数”，其详未之闻也。按周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。

汉简九九表长260厘米，宽24厘米。居延汉简中的九九歌：

• “九九八十一，八九七十二，七九六十三。八八六十四，七八五十六，……五七卅五，四七廿八，三七廿一，五五廿五，四五廿，三五十五……三七二十一，二七一十四”，共14句。[13]。

敦煌千佛洞《算书》：九九八十一，八九七十二，七九六十三……一二如二，一一如一[14]

敦煌千佛洞《立成算经》：九九八十一，八九七十二，七九六十三……一二如二，一一如一[15]

1981年，深圳市南头红花园3号东汉墓出土“乘法口诀铭文砖”，内容为“三九二十七、二九一十八、四九三十六”、“九九八十一、八九七十二、七九六十三、五九四十五”。现在深圳市博物馆古代深圳部分展出。

2002年，中国考古学家在湖南一座距今二千多年前的春秋战国时期的遗址内，发现之今最早的九九歌木简残片（里耶秦简），上有四八三十二、五八四十、六八四十八等字样[16]，這说明乘法在春秋战国时期支持十进位制的九九歌已经出現。

九九表到了宋朝，变成九九殿后的排列方式。

清华大学藏战国竹简（清华简）第四中的《算表》被中国数学史家确认为目前国内发现最早的“大九九”算具，利用这套大九九《算表》，能够快速计算100以内的两个任意整数乘除、乘法和分数1/2的两位数乘除法[17]。

隋唐时期中国传入日本的算书包括《九章算术》、《海岛算经》、《夏侯阳算经》、《孙子算经》等。

日本现存古算书中有一部源为宪作的《口游》（970年），内录九九表一则，以九九开始，和孙子算经同。“九九八十一，八九七十二，六九五十四……二二四，一二二，一一一”[18]。日本足利时代的《拾芥抄》也有九九表[19]。

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