九章算术
《九章算术》九卷，是現存最早的中國古代数学著作之一，《算经十书》中最重要的一种。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的。在四庫全書中為子部天文演算法算書類。
| 九章算术 | |
|---|---|
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| 全名 | 九章算術 |
| 别名 | 九章算經 |
| 撰者 | 佚名 |
| 成书年代 | 東漢 |
| 注解者 | 魏 刘徽、 唐 李淳風、 宋 賈憲、 宋 楊輝、 清 李潢 |
| 篇数 | 九篇 |
| 卷数 | 九卷 |
| 最初著录 | 《後漢書》 |
| 版本 | 宋嘉定鮑澣之刻本 |
| 分类 | 子部術數類 |
《九章算术》內容豐富，題材廣泛，共九章，分為二百四十六題二百零二術，不但是漢代重要的數學著作[1]。在中國和世界數學史上佔有重要的地位。作為中國古代數學的系統總結，對中國傳統數學的發展有了深遠的影響。
歷史
根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在西汉后期已经基本定型。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。
1984年，在湖北出土了《算数书》书简。据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系[2]，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。
由於《九章算術》中只是列出了例子及一般的算法，卻很少有任何解釋和說明，所以有很多人曾為《九章算術》作注，提出了簡括的證明，證明了些算法的正確性。較為著名的有在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》作注，加上自己心得体会，使其便于了解，可以流传下来[2]。唐代李淳风又重新做注（656年），作为《算经十书》之一[2]，作为国子监算学馆的教材和明算科的考试项目。
体例
《九章算术》共收有246个数学问题，分为九大类，在一个或几个问题之后，列出这个问题的解法。
內容
實數系統
《九章算术》對自然數即正整數及其運算沒有給予論述，但卻加以廣泛應用，以自然數的基礎上編寫。雖然不是論述分數的專書，但是對於分數的意義、性質、四則運算論述完備。例如：合分術（加法）、減分術（減法）、乘分術（乘法）、經分術（除法）、課分術（比較大小）、約分術（簡化分數）與平分術（平均數）[4]。
《九章算术》出現負數概念，方程章為了配合方程術的算法，給出正負數的加、減法則。減法為「同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之」。加法為「異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之」。其中「除」是減，「益」是加，「無入」是指沒有對方，不過乘除法並未記載[4]。
《九章算术》對自然數、分數、正負數以及一些特殊無理數給予一定的論述，基本上具備實數系統的雛形[4]。
比例與盈虧算法
粟米章所述今有術，即是四項比例算法，按術文「以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一」[4]。
今有術在《九章算术》應用非常廣泛，為一種解題的基本算法。另一種常用的算法是衰分章的衰分術，為配分比例算法。其術文為：「各置列衰，副併為法，以所分乘未併者各自為實，實如法而一」[4]。
《九章算术》以列衰的倒數為列衰，稱為反衰術。反衰術就是衰分術與反比例相結合的算分。而衰分術與反衰術相結合的算法，就是均輸章的均輸術。《九章算术》不但有正比例算法、而且還有反比例算法、複比例算法、連比例算法以及配分比例算法。這些算法都是以今有術為基礎，發展而匯集起來的各種算法[4]。
盈不足術是中國古代一種解算術難題的算法。一般算術應用題，都有確切答案。盈不足術為了推算答案，預先設立一個數字作為答案，依題目核算，若結果合問題，所設之數就是答案；若不合問，非盈即不足；通過兩次假設，即可利用盈不足術求出答案。這類問題共有五種，即一盈一不足，兩盈、兩不足、一盈一適足、一不足一適足。《九章算术》則匯集這五種問題，並給出算法[4]。
盈不足章除了擁有算術應用問題外，還包括一些初等超越方程問題，用這種模式算法解出前一類問題得到確切解，用以解後一類問題則得近似解[4]。
求積與勾股
《九章算术》論述的幾何圖形，多為直線型和圓型的圖形，根據算田畝的需要，《九章算术》論述方田、圭田、邪田、箕田、圓田、弧田、環田及宛圓的面積算法。另外由於土木建築的需要，《九章算术》還有論述直線型立體和圓型立體圖形的體積算法，這些體積算法的編排，由簡單到複雜，形成獨特的理論體系[4]。
勾股計算，《九章算术》分為四類問題。有勾股互求、勾股整數、勾股兩容、勾股相似[4]。
勾股互求，即是已知勾股的一般線段，推求其他線段。勾股整數，即是《九章算术》給出推求勾、股、弦，都是整數的算法。勾股兩容，為推求勾股形內接正方形及內切圓的算法。勾股相似，為利用相似勾股形性質，進行簡單測遠、測高的算法[4]。
《九章算术》對幾何問題的處理，分為三部分，有體積算法、面積算法、線段算法，分別隸屬於商功、方田、勾股三章[4]。
開方與方程
《九章算术》列出的平方術、開立方術以及線性方程組的解法，可以看作中國古代代數學的主要內容。《九章算术》記載的這些算法非常詳盡，經由這些論述，可以了解中國古代代數學發展的成果[4]。
開平方術、開立方術，不但可以解出二項二次方程、二項三次方程，而且可以解出一般的二次數值方程和三次數值方程。它是中國古代解出高次數值方程的基礎，在數學的發展也有重要地位[4]。
方程章所論「方程」，地位相當於今天線性方程組。所論「方程術」，為所謂「直除法」。「直除」是連續相減的意思或累減的意思，「直除法」為連續相減消元法，在理論上、算法上與今天加減消元完全一樣[4]。
在方程章所列十八題中，有的相當於二元一次方程組，有的相當於三元一次方程組，也有的相當於五元一次方程組。其中第十三題為：「今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深，綆長各幾何」。所問是六個未知數之值，依題意只能列出五個一次方程，可見這是世界上最早的一次不定方程組[4]。
影響
《九章算术》总结了自先秦以来的中国古代数学，它既包含了以前已经解决了的数学问题，又有汉朝时新发现的数学成就。一般认为，它在数学史上，标志着中国古代数学体系的形成，是中国古代数学体系的初期代表作[4]。
《九章算术》問世之前的中國先秦典籍中，記錄了不少數學知識，但是卻沒有《九章算术》的系統論述，尤其是由易到難、由淺入深、從簡單到複雜的編排體例，從而形成中國傳統數學的理論體系。因而後世的中國數學家，都是從此開始學習和研究，唐、宋時，為國家明令規定的教科書，北宋時由政府刊刻，又是世界上最早的印刷本數學書[5]。
《九章算术》中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如，关于比例算法的问题，它和后来在16世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题，在阿拉伯曾称为契丹算法，13世纪以后的欧洲数学著作中也有如此称呼的，这也是中国古代数学知识向西方传播的一个证据。
《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，这种影响一直持续到了清朝中叶。《九章算术》的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再给出解法，不同于西方以演绎为主的叙述方式，中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。历代数学家有不少人曾经注释过这本书，其中以刘徽和李淳风的注释最有名。
《九章算术》隋、唐時，流传到了日本和朝鲜，对其古代的数学发展也产生了很大的影响，之後更遠傳到印度、阿拉伯和歐洲，現已譯成日、俄、英、法和德等多種文字版本[5]。
译本
- 俄译本：
- 德译本：Chiu Chang Suan Shu, Neun Bucher Arithmetischer Technik, Ubersetzt von K.Vogel, F.Verlag 1968
- 英译本：The Nine Chapters on the Mathematical Art, Companion and Commentary Translated and edited by Shen Kangshen（沈康生）, John Crossley and Anthony Lun ISBN 978-0-19-853936-0, Oxford University Press
- 法译本：Chemla, Karine, and Shuchun Guo. . Les neuf chapitres: le classique mathmatique de la Chine ancienne et ses commentaires. 2004 Paris: Dunod.
- 日译本：
参考文献
引用
- 王子今. . . 2009: 346–348.
- 胡世慶. . . 2009: 822–831.
- HPM通訊第七卷第一期 页面存档备份，存于，台師大數學系碩士班研究生 張復凱
- 地球社編輯部. . . 1992: 515–531.
- 龔書鐸. . . 2009: 177.
来源
- 郭书春 译注 《九章算术》 上海古籍出版社 2009 ISBN 978-7-5325-5433-1