交集

A和${\displaystyle B}$的交集

${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集写作「${\displaystyle A\cap B}$」。形式上：

${\displaystyle x}$属于${\displaystyle A\cap B}$当且仅当

• ${\displaystyle x}$属于${\displaystyle A}$且${\displaystyle x}$属于${\displaystyle B}$。

例如：集合${\displaystyle \{1,2,3\}}$和${\displaystyle \{2,3,4\}}$的交集为${\displaystyle \{2,3\}}$。数字${\displaystyle 9}$不属于素数集合${\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \}}$和奇数集合${\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,\ldots \}}$的交集。

若两个集合${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集为空，就是说它们彼此没有，则他们不相交，写作：${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$。例如集合${\displaystyle \{1,2\}}$和${\displaystyle \{3,4\}}$不相交，写作${\displaystyle \{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing }$。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合${\displaystyle A,B}$，${\displaystyle C}$和${\displaystyle D}$的交集为${\displaystyle A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))}$。交集运算满足结合律。即：

${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}$

以上定義可推廣到任意非空集合的集合的交集。若 M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则${\displaystyle x}$属于 M 的交集，当且仅当对任意 M 的元素${\displaystyle A,x}$属于${\displaystyle A}$。符号表示为：

${\displaystyle \left(x\in \bigcap \mathbf {M} \right)\leftrightarrow \left(\forall A\in \mathbf {M} ,x\in A\right)}$。

这一概念也蕴涵了前述的定義，例如，${\displaystyle A\cap B\cap C}$是集合${\displaystyle {A,B,C}}$的交集。 （若 M 为空集，有时候談論它的交集也是有意義的，请见空交集。）

这一概念的表示符號有多種。 集合论者有时用${\displaystyle \bigcap M}$，有时用${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A}$。后一种写法可以一般化为${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}}$，表示集合${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$的交集。这里${\displaystyle I}$非空，而對於每個${\displaystyle I}$裡的${\displaystyle i,A_{i}}$是一个集合。

当索引集${\displaystyle I}$为自然数集合时，这种符号表示与无限序列相类似：

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

为了排版方便，上述符号也可以写成"${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots }$"，儘管嚴格說來，像${\displaystyle A_{1}\cap (A_{2}\cap (A_{3}\cap \ldots }$這樣的寫法是無意義的。（这个例子是可数个集合的交集，相當常用，可以参看${\displaystyle \sigma }$-代数條目中的例子。）

最后，注意当符号${\displaystyle \cap }$写在其他符号之前，而不是之间的时候，需要写得大一号。（在HTML中，可以使用字体⋂，或者尝试∩。）

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• 对称差