自然数

基于序数理论提出的皮亚诺公理可以得到自然数的许多特性，这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

1. 0是自然数；
2. 每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数；
3. 对于每个自然数b、c，b=c当且仅当b的后继数=c的后继数；
4. 0不是任何自然数的后继数；
5. 任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，可以证明对a' 也真。那么，命题对所有自然数都真。

其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。

在基数理论中，集合论的一般做法是将0定义為空集後，将任一非零自然数看作是所有比該數小的自然数组成的集合，即

${\displaystyle 0=\{\},1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\ldots }$

通過無窮公理，可以得到存在一个只包含全體自然數的自然數集${\displaystyle \mathbb {N} }$。

另外，在此定义下，在集合${\displaystyle n}$内就有${\displaystyle n}$个元素；而若${\displaystyle n}$小于${\displaystyle m}$，则${\displaystyle n}$会是 ${\displaystyle m}$的子集。

自然数的集合是无限集。根据定义，这种无限称为可数无限。可以与自然数建立双射关系的所有集合都具有这种无限性，称作，这个集合的势为${\displaystyle \aleph _{0}}$。

自然数加法可经${\displaystyle a+0=a}$及${\displaystyle a+(b+1)=(a+b)+1}$递归定义而成。因而得出交换幺半群${\displaystyle (N,+)}$，是由${\displaystyle 1}$生出的自由幺半群，其中幺元为${\displaystyle 0}$。此幺半群服从消去律，可嵌入一群内：最小的是整数群。

同理，自然数乘法${\displaystyle \times }$可经${\displaystyle a\times 0=0}$及${\displaystyle a\times (b+1)=ab+a}$ 得出。

而${\displaystyle (N,\times )}$亦是交换幺半群；${\displaystyle \times }$和${\displaystyle +}$符合分配律：

${\displaystyle a\times (b+c)=ab+ac}$。

我们说${\displaystyle a\leq b}$当且仅当有自然数${\displaystyle c}$使得${\displaystyle a+c=b}$。${\displaystyle (N,\leq )}$是一个良序集，即每个非空子集都有一个最小的自然数。

此序也和加法及乘法兼容，即若${\displaystyle a}$，${\displaystyle b}$和${\displaystyle c}$都是自然数且${\displaystyle a\leq b}$，则${\displaystyle a+c\leq b+c}$及${\displaystyle ac\leq bc}$。

给定两个自然数${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$，其中${\displaystyle b\neq 0}$，可找到唯一的两个自然数${\displaystyle q}$及${\displaystyle r}$使得

${\displaystyle a=bq+r,\ 0\leq r<q}$

${\displaystyle q}$称为“商数”而${\displaystyle r}$称为“余数”。 若${\displaystyle r=0}$，则稱${\displaystyle a}$可被${\displaystyle b}$整除，记为${\displaystyle b|a}$。

相关概念有辗转相除、质数及其它数论概念。