伽罗瓦扩张

给定有限的域扩张L/K。L/K是伽罗瓦扩张，当且仅当它满足以下三个相互等价的条件中的任何一个[1]^:147：

• L/K是可分的正规扩张。
• L是某个以K中元素为系数的多项式在K的分裂域，而且该多项式在此分裂域中没有重根。
• [L : K] = |Aut(L/K)|。域扩张L/K的次数，等于其上的自同构群Aut(L/K)的阶数（群元素的个数）。
• Aut(L/K)的不变域，即${\displaystyle L^{\mathrm {Aut} (L/K)}:=\{x\in L|\forall \sigma \in \mathrm {Aut} (L/K),\sigma (x)=x\}}$，是K。

给定域扩张${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} (\theta ,\omega )}$，其中的θ = ³√2是2的三次方根，ω = e^2iπ⁄₃是三次单位根。${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\theta ,\omega )}$是多项式P = X³ - 2在有理数域上的分裂域，而且它在其中没有重根，所以${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$是伽罗瓦扩张[1]^:52-53。它的扩张次数是6，而它的自同构群元素有六个，同构于3次对称群。有关其具体结构，可参见伽罗瓦理论基本定理。

如果域扩张基域的特征为0，那么所有代数扩张都是可分扩张，这时所有的正规扩张都是伽罗瓦扩张。

如果域扩张L/K是伽罗瓦扩张，则中间扩张K⊂F⊂L中，L/F也是伽罗瓦扩张[1]^:149。

域K的代数闭包K^alg是K的伽罗瓦扩张，当且仅当K是完美域。

• 正规扩张
• 可分扩张
• 伽罗瓦群

• Serge Lang. . Springer-Verlag. 2002. ISBN 978-0-387-95385-4.
• Patrick Morandi. . Springer（插图版）. 1996. ISBN 9780387947532 （英语）.