初等矩阵
操作
初等矩阵分为3种类型,分别对应着3种不同的行/列变换。
- 两行(列)互换:
- 把某行(列)乘以一非零常数:
- 其中
- 把第i行(列)加上第j行(列)的k倍:
初等矩阵即是将上述3种初等变换应用于一单位矩阵的结果。以下只讨论对某行的变换,列变换可以类推。
行互换
这一变换Tij,将一单位矩阵的第i行的所有元素与第j行互换。
把某行乘以一非零常数
这一变换Ti(m),将第i行的所有元素乘以一非零常数m。
性质
- 逆矩阵为。
- 此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵。
- 其行列式。故对于一等大方阵A有。
把第i行加上第j行的m倍
这一变换Tij(m),将第 i 行加上第 j 行的 m 倍,其中 m 为第 j 行第 i 列的元素。
性质
- 逆矩阵具有性质。
- 此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵。
- 。故对于一等大方阵A有:。
应用
注释
参考
- Axler, Sheldon Jay, 2nd, Springer-Verlag, 1997, ISBN 0387982590
- Lay, David C., 3rd, Addison Wesley, August 22, 2005, ISBN 978-0321287137
- Meyer, Carl D., , Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), February 15, 2001 [2010-07-02], ISBN 978-0898714548, (原始内容存档于2001-03-01)
- Poole, David, 2nd, Brooks/Cole, 2006, ISBN 0-534-99845-3
- Anton, Howard, 9th, Wiley International, 2005
- Leon, Steven J., 7th, Pearson Prentice Hall, 2006
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