矩阵

一个矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$從左上角數起的第${\displaystyle i}$第${\displaystyle j}$上的元素称为第${\displaystyle i,j}$項，通常记为${\displaystyle \mathbf {A} _{i,j}}$、${\displaystyle \mathbf {A} _{ij}}$、${\displaystyle \mathrm {a} _{ij}}$或${\displaystyle \mathbf {A} _{[i,j]}}$。在上述例子中${\displaystyle \mathbf {A} _{4,3}=7}$。如果不知道矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$的具体元素，通常也会将它记成${\displaystyle \mathbf {A} =[\mathbf {a} _{ij}]_{m\times n}}$或${\displaystyle \mathbf {A} =[\mathbf {a} _{i,j}]_{m\times n}}$。反之，如果${\displaystyle \mathbf {A} }$的元素可以写成只与其数${\displaystyle i}$和数${\displaystyle j}$有关的统一函数${\displaystyle f}$，那么也可以用${\displaystyle \mathbf {A} =\left[f(i,j)\right]_{m\times n}}$作为${\displaystyle \mathbf {A} }$的简写。例如${\displaystyle \mathbf {B} =\left[i+2j\right]_{2\times 3}}$是矩阵

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}3&5&7\\4&6&8\end{bmatrix}}}$

的简写。要注意的是，在计算机编程中，由于数组的首项是第0项，故编程者可能会将第1行／列称为第0行／列，从而对矩阵的写法产生影响，比如矩阵${\displaystyle \mathbf {B} }$就要改写成${\displaystyle \mathbf {B} =\left[i+2j+3\right]_{2\times 3}}$。

矩阵的元素可以是数字、符号或数学表达式。一般为了矩阵的运算，矩阵的元素之间应当能做加减法和乘法，所以是某个环的元素。最常见的是元素属于实数域或复数域的矩阵，简称为实矩阵和复矩阵。更一般的情况下，矩阵的元素可以是由一个环中的元素排成。给定一个环${\displaystyle \mathbf {R} }$，所有由${\displaystyle \mathbf {R} }$中元素排成的${\displaystyle m\times n}$矩陣的集合写作${\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )}$或${\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbf {R} )}$。若${\displaystyle m=n}$，則通常記以${\displaystyle {\mathcal {M}}(m,\mathbf {R} )}$或${\displaystyle {\mathcal {M}}_{m}(\mathbf {R} )}$，称其为${\displaystyle n}$维矩阵或方阵。

矩阵乘法的一个基本应用是在线性方程组上。线性方程组是方程组的一种，它符合以下的形式：

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \quad \quad \quad \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{cases}}}$

其中的${\displaystyle a_{1,1},\,a_{1,2}}$以及${\displaystyle b_{1},\,b_{2}}$等等是已知的常数，而${\displaystyle x_{1},\,x_{2}}$等等则是要求的未知数。运用矩阵的方式，可以将线性方程组写成一个向量方程：

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$

其中，${\displaystyle \mathbf {A} }$是由方程组里未知量的系数排成的${\displaystyle m\times n}$矩陣，${\displaystyle \mathbf {x} }$是含有${\displaystyle n}$个元素的向量，${\displaystyle \mathbf {b} }$是含有${\displaystyle m}$个元素的向量[19]。

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}$

这个写法下，将原来的多个方程转化成一个向量方程，在已知矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$和向量${\displaystyle \mathbf {b} }$的情况下，求未知向量${\displaystyle \mathbf {x} }$。

矩陣是线性变换的便利表達法。矩陣乘法的本质在联系到线性变换的时候最能体现，因为矩阵乘法和线性变换的合成有以下的联系： 以${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$表示所有長度為${\displaystyle n}$的向量的集合。每个${\displaystyle m\times n}$的矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$都代表了一个从${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$射到${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$的线性变换。反过来，对每個线性变换${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$，都存在唯一m×n矩陣${\displaystyle \mathbf {A} _{f}}$使得对所有${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的元素${\displaystyle x}$，${\displaystyle f(x)=A_{f}x}$。这个矩阵${\displaystyle \mathbf {A} _{f}}$第${\displaystyle i}$第${\displaystyle j}$上的元素是正则基向量${\displaystyle \mathbf {e} _{j}=(0,\cdots ,0,1,0,\cdots 0)^{T}}$（第j个元素是1，其余元素是0的向量）在${\displaystyle f}$映射后的向量${\displaystyle f(\mathbf {e} _{j})}$的第${\displaystyle i}$个元素。

也就是说，从${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$射到${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$的线性变换构成的向量空间${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}\right)}$上存在一个到${\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbb {R} )}$的一一映射：${\displaystyle f\mapsto A_{f}}$

以下是一些典型的2维实平面上的线性变换对平面向量（图形）造成的效果，以及它们对应的2维矩阵。其中每个线性变换将蓝色图形映射成绿色图形；平面的原点(0, 0)用黑点表示。

推移， 幅度m=1.25.	水平鏡射变换	“挤压”变换， 压缩程度r=3/2	伸縮，3/2倍	旋轉，左转30°
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {2}{3}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {3}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos({\frac {\pi }{6}})&-\sin({\frac {\pi }{6}})\\\sin({\frac {\pi }{6}})&\cos({\frac {\pi }{6}})\end{bmatrix}}}$

设有${\displaystyle k\times m}$的矩陣${\displaystyle \mathbf {B} }$代表綫性變換${\displaystyle g:\mathbf {R} ^{m}\rightarrow \mathbf {R} ^{k}}$，則矩陣積${\displaystyle \mathbf {BA} }$代表了綫性變換的复合${\displaystyle g\circ f}$[20]，因为

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\mathbf {Ax} )=\mathbf {B} (\mathbf {Ax} )=(\mathbf {BA} )\mathbf {x} }$

矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行／列向量的最大个数[21]，同时也是矩阵对应的线性变换的像空间的维度[22]。秩－零化度定理说明矩阵的数量等于矩阵的秩与零空间维度之和[23]。

R²的一个线性变换f将蓝色图形变成绿色图形，面积不变，而顺时针排布的向量x1和x2的变成了逆时针排布。对应的矩阵行列式是-1.

方块矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$的行列式是一个将其映射到标量的函数，记作${\displaystyle \det(\mathbf {A} )}$或${\displaystyle \mathbf {|A|} }$，反映了矩阵自身的一定特性。一个方阵的行列式等于0当且仅当该方阵不可逆。系数是实数的时候，二维（三维）方阵${\displaystyle \mathbf {A} }$的行列式的绝对值表示单位面积（体积）的图形经过${\displaystyle \mathbf {A} }$对应的线性变换后得到的图形的面积（体积），而它的正负则代表了对应的线性变换是否改变空间的定向：行列式为正说明它保持空间定向，行列式为负则说明它逆转空间定向。

2×2矩阵的行列式是

${\displaystyle \det {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}$ 。

3×3矩阵的行列式由6项组成。更高维矩阵的行列式则可以使用莱布尼兹公式写出[27]，或使用拉普拉斯展开由低一维的矩阵行列式递推得出[28]。

两个矩阵相乘，乘积的行列式等于它们的行列式的乘积：${\displaystyle \det(\mathbf {AB} )=\det(\mathbf {A} )\cdot \det(\mathbf {B} )}$[29]。将矩阵的一行／列乘以某个系数加到另一行／列上不改变矩阵的行列式，将矩阵的两行／列互换则使得其行列式变号[30]。用这两种操作可以将矩阵变成一个上三角矩阵或下三角矩阵，而后两种矩阵的行列式就是主对角线上元素的乘积，因此能方便地计算。运用行列式可以计算线性方程组的解（见克萊姆法則）[31]。

${\displaystyle n\times n}$的方块矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$的一个特征值和对应特征向量是满足

${\displaystyle \mathbf {Av} =\lambda \mathbf {v} }$[32]的标量${\displaystyle \lambda }$以及非零向量${\displaystyle \mathbf {v} }$。特征值和特征向量的概念对研究线性变换很有帮助。一个线性变换可以通过它对应的矩阵在向量上的作用来可视化。一般来说，一个向量在经过映射之后可以变为任何可能的向量，而特征向量具有更好的性质[33]。假设在给定的基底下，一个线性变换对应着某个矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$，如果一个向量${\displaystyle \mathbf {x} }$可以写成矩阵的几个特征向量的线性组合：

${\displaystyle \mathbf {x} =c_{1}\mathbf {x} _{\lambda _{1}}+c_{2}\mathbf {x} _{\lambda _{2}}+\cdots +c_{k}\mathbf {x} _{\lambda _{k}}}$

其中的${\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda _{i}}}$表示此向量对应的特征值是${\displaystyle \lambda _{i}}$，那么向量${\displaystyle \mathbf {x} }$经过线性变换后会变成：

${\displaystyle \mathbf {Ax} =c_{1}\lambda _{1}\mathbf {x} _{\lambda _{1}}+c_{2}\lambda _{2}\mathbf {x} _{\lambda _{2}}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}\mathbf {x} _{\lambda _{k}}}$

可以清楚地知道变换后向量的结构。

另一个等价的特征值定义是：标量${\displaystyle \lambda }$为特征值，如果矩阵${\displaystyle \mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} _{n}}$是不可逆矩阵。根据不可逆矩阵的性质，这个定义也可以用行列式方程描述：${\displaystyle \lambda }$为特征值，如果

${\displaystyle \det(\lambda \mathbf {I} _{n}-\mathbf {A} )=0.\ }$[34]这个定义中的行列式可以展开成一个关于${\displaystyle \lambda }$的n阶多项式，叫做矩阵A的特征多项式，记为${\displaystyle p_{\mathbf {A} }}$。特征多项式是一个首一多项式（最高次项系数是1的多项式）。它的根就是矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$特征值[35]。哈密尔顿－凯莱定理说明，如果用矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$本身代替多项式中的不定元${\displaystyle \lambda }$，那么多项式的值是零矩阵[36]：

${\displaystyle p_{\mathbf {A} }(\mathbf {A} )=0}$。

转置等于自己的矩阵，即满足${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}$的方块矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$叫做对称矩阵。满足${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}$的矩阵称为反对称矩阵。在复系数矩阵中，则有埃尔米特矩阵的概念：满足${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{*}}$的方块矩阵称为埃尔米特矩阵，其中的${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$表示${\displaystyle \mathbf {A} }$的共轭转置矩阵。

根据谱定理，实对称矩阵和复埃尔米特矩阵拥有特征基，即由矩阵的特征向量组成的基底。因此任何向量都能表示成矩阵特征向量的线性组合。此外，这两类矩阵的特征值都是实数[37]。

矩阵表达式	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}}$
正定性	不定矩阵	正定矩阵
对应二次型	${\displaystyle Q(x,y)={\frac {1}{4}}(x^{2}-y^{2})}$	${\displaystyle Q(x,y)={\frac {1}{4}}(x^{2}+y^{2})}$
取值图像
说明	正定矩阵对应的二次型的取值范围永远是正的， 不定矩阵对应的二次型取值则可正可负

${\displaystyle n\times n}$的实对称矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$如果满足对所有非零向量${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$，对应的二次型

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {Ax} }$

函数值都是正数，就称${\displaystyle \mathbf {A} }$为正定矩阵。类似地还有半正定矩阵、负定矩阵、不定矩阵等概念[38]。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数[39]。

矩阵研究的一大方向是将一般的矩阵用一些比较“简单”的矩阵来表示。这种表示方式称为矩阵的变换与分解。矩阵变换与分解的方法有很多，它们的目的都是希望化简后的矩阵保持原矩阵的某些性质，比如行列式、秩或逆矩阵，而形式相对简单，因而能用容易地进行讨论和计算，或者能使得某些算法更易执行。

LU分解将矩阵分解为一个下三角矩阵${\displaystyle \mathbf {L} }$和一个上三角矩阵${\displaystyle \mathbf {U} }$的乘积[45]。分解后的矩阵可以方便某些问题的解决。例如解线性方程组时，如果将系数矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$分解成${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {LU} }$的形式，那么方程的求解可以分解为求解${\displaystyle \mathbf {Ly} =\mathbf {b} }$和${\displaystyle \mathbf {Ux} =\mathbf {y} }$两步，而后两个方程可以十分简洁地求解（详见三角矩阵中“向前与向后替换”一节）。又例如在求矩阵的行列式时，如果直接计算一个矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$的行列式，需要计算大约${\displaystyle (n+1)!}$次加法和乘法；而如果先对矩阵做${\displaystyle \mathbf {LU} }$分解，再求行列式，就只需要大约${\displaystyle n^{3}}$次加法和乘法，大大降低了计算次数。这是因为做${\displaystyle \mathbf {LU} }$分解的复杂度大约是${\displaystyle n^{3}}$次，而后注意到${\displaystyle \mathbf {L} }$和${\displaystyle \mathbf {U} }$是三角矩阵，所以求它们的行列式只需要将主对角线上元素相乘即可。

若尔当矩阵，其中灰色框内的是若尔当块

高斯消去法也是一种矩阵分解方法。通过初等变换操作，可以将任何矩阵变为阶梯形矩阵，而每个操作可以看做是将矩阵乘上一个特定的初等矩阵[46]。奇异值分解则是另一种分解方法，将一个矩阵表示成3个矩阵的乘积：${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {UDV} }$。其中${\displaystyle \mathbf {U} }$和${\displaystyle \mathbf {V} }$是酉矩阵，${\displaystyle \mathbf {D} }$是对角矩阵。

特征分解是将一个矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$写成${\displaystyle \mathbf {PDP} ^{-1}}$的形式，其中${\displaystyle \mathbf {P} }$是一个可逆矩阵，${\displaystyle \mathbf {D} }$是对角矩阵[47]。如果${\displaystyle \mathbf {A} }$的特征分解存在，就称它是可对角化的矩阵。不能对角化的矩阵，也有类似的分解方式。任意的矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$都可以写成${\displaystyle \mathbf {PJP} ^{-1}}$的形式，其中的矩阵${\displaystyle \mathbf {J} }$是若尔当标准型。若尔当标准型是矩阵的一种，它与对角矩阵类似，只不过主对角线上的元素不是数值，而是若尔当块：主对角线上为同一元素${\displaystyle \lambda _{i}}$，主对角线右上一行的次对角线上都是1，其它元素都是0的矩阵（见右图）[48]。特征分解可以方便计算矩阵的幂次和多项式，如要计算${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$：

${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}=(\mathbf {PDP} ^{-1})^{n}=\mathbf {PDP} ^{-1}\mathbf {PDP} ^{-1}\ldots \mathbf {PDP} ^{-1}=\mathbf {PD} ^{n}\mathbf {P} ^{-1}}$

而其中对角矩阵的幂次${\displaystyle \mathbf {D} ^{n}}$要比${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$容易计算得多。同理还可计算矩阵指数：${\displaystyle e^{\mathbf {A} }}$（在线性微分方程中有应用）、矩阵对数和矩阵的平方根[49]。为了提高算法的数值稳定性，还有舒尔分解等矩阵分解方法[50]。

矩阵的元素除了可以是实数和复数以外，还可以是任何能够使得矩阵的运算律成立的元素。首先，矩阵的元素可以是任意一个域（即能够进行“加减乘除”运算的集合）中元素。例如编码理论中会出现系数为有限域中元素的矩阵，以及有理数系数的矩阵。如果矩阵的系数所在域${\displaystyle \mathbf {K} }$不是代数闭域，那么在求矩阵的特征值时，由于特征值是相应的特征多项式的根，可能不在系数域${\displaystyle \mathbf {K} }$中，而是在系数域的某个扩域L中。反过来，如果考虑扩域${\displaystyle \mathbf {L/K} }$，以及${\displaystyle \mathbf {L} }$中的一个元素${\displaystyle \alpha }$，以及${\displaystyle \mathbf {L} }$中线性变换${\displaystyle m_{\alpha }:\,x\mapsto \alpha x}$，那么由于${\displaystyle m_{\alpha }}$也是一个${\displaystyle \mathbf {K} }$-线性变换，它可以表示成一个${\displaystyle n\times n}$的${\displaystyle \mathbf {K} }$系数矩阵${\displaystyle X_{\alpha }}$，其中的${\displaystyle n}$是扩域${\displaystyle \mathbf {L/K} }$的阶数。${\displaystyle \alpha }$是这个矩阵的特征值，这个矩阵的特征多项式${\displaystyle p_{X_{\alpha }}}$是${\displaystyle \alpha }$在${\displaystyle \mathbf {K} }$中的最小多项式${\displaystyle \operatorname {min} _{\mathbf {K} }(\alpha )}$的幂次：

${\displaystyle p_{X_{\alpha }}=\left(\operatorname {min} _{\mathbf {K} }(\alpha )\right)^{r}\,}$。其中的${\displaystyle r}$是扩域${\displaystyle \mathbf {L/K} }$ ${\displaystyle (\alpha )}$的阶数[52]。

更一般的情况是矩阵的元素属于某个环${\displaystyle \mathbf {R} }$[53]。环是比域更广泛的概念，只要求其中元素能够进行加减法和乘法运算（不一定能定义除法）。给定一个环${\displaystyle \mathbf {R} }$，${\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )}$中的矩阵之间可以相互加减以及相乘，所以${\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )}$关于矩阵的加法和乘法也构成一个环，称为矩阵环。${\displaystyle n}$维方阵的环${\displaystyle {\mathcal {M}}(n,\mathbf {R} )}$與左${\displaystyle \mathbf {R} }$-模${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$的自同態環同構[54]。

若${\displaystyle \mathbf {R} }$是交换环，則${\displaystyle {\mathcal {M}}(m,\mathbf {R} )}$是一个帶單位元的${\displaystyle \mathbf {R} }$-代數，满足结合律，但不满足交换律。其中的矩阵仍然可以用莱布尼兹公式定義行列式。一个矩阵可逆当且仅当其行列式为环${\displaystyle \mathbf {R} }$中的可逆元（域上的矩阵可逆只需行列式不等于0）[55]。

前面已经提到，所有${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{m}}$的线性变换都对应着一个${\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )}$中的矩阵。更一般地，给定了基底后，任意两个有限维线性空间之间的线性映射${\displaystyle f:\mathbf {V} \rightarrow \mathbf {W} }$也对应着一个矩阵${\displaystyle \mathbf {A} _{f}=(a_{ij})}$。设空间${\displaystyle \mathbf {V} }$和${\displaystyle \mathbf {W} }$的基底分别是${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$和${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}}$，那么

对任意 ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$，${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}}$

矩阵${\displaystyle \mathbf {A} _{f}}$实际上“记录”了${\displaystyle \mathbf {V} }$中每个基底向量经过变换后得到的${\displaystyle \mathbf {W} }$中的像在基底${\displaystyle (\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m})}$下的形式。要注意矩阵的内容取决于基底的选择。可以说，矩阵是线性变换f在特定“角度”（基底）下的“素描”。不同的“角度”下，描述${\displaystyle f}$的矩阵是不同的，但这些矩阵都是相似矩阵[56]。与矩阵有关的基本概念都可以用线性变换的层面来解释，比如一个矩阵的转置可以用f的对偶变换${\displaystyle f^{*}:\mathbf {W} ^{*}\rightarrow \mathbf {V} ^{*}}$来表示[57]。

当矩阵的元素是带单位元的环${\displaystyle \mathbf {R} }$中的元素时，${\displaystyle m\times n}$的${\displaystyle \mathbf {R} }$-矩阵对应的则是${\displaystyle \mathbf {R} }$-自由模${\displaystyle \mathbf {R} ^{m}}$和${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$之间的${\displaystyle \mathbf {R} }$-线性变换。${\displaystyle n=m}$的时候，这些${\displaystyle \mathbf {R} }$-线性变换可以相互复合，因此${\displaystyle n}$维的${\displaystyle \mathbf {R} }$-矩阵环能够与${\displaystyle \mathbf {R} }$-自同态环${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$同构。

群是比环更宽泛的代数结构，只需要集合配备一个满足结合律的二元运算，即将两个群内元素映射到群内一元素的运算。矩阵群是指矩阵关于矩阵乘法组成的群[58]。显然，只有方块矩阵才能构成乘法群。所有${\displaystyle n}$维的可逆方阵构成一个群，称为${\displaystyle n}$阶一般线性群。由于群内每个元素都必须是可逆的，任意的矩阵群都必然是一般线性群的子群。

能够在矩阵乘法和求逆矩阵运算下保持的性质都可以用来刻画一定的矩阵群。例如所有行列式为1的矩阵可以构成一个群，称为${\displaystyle n}$阶特殊线性群[59]。所有${\displaystyle n}$维的正交矩阵，即满足：

${\displaystyle \mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\mathbf {M} =\mathbf {I} }$

的矩阵${\displaystyle \mathbf {M} }$也构成一个群，称为${\displaystyle n}$阶正交群[60]。正交矩阵得名于它在${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$中对应的线性变换具有保角性，也就是说对基本的点积，满足

${\displaystyle (\mathbf {Mv} )\cdot (\mathbf {Mw} )=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$[61]

每个有限群都同构于一个矩阵群。实际上，每个有限群都同构于某个置换群的子群，而每个置换群都同构于一个矩阵群（见置换群的正则群表示[62]）鉴于矩阵群的性质可以通过与矩阵相关的更多手段更好地理解，常常通过研究矩阵群来研究一个有限群。相关的理论称为群表示论。

无穷维矩阵可以指行数或列数无穷大，或两者都是无穷大的矩阵[63]。尽管这样的矩阵无法完整写出，但只要知道每行每列的元素的值，仍然可以对它进行矩阵操作和运算。这里矩阵的行数和列数甚至不一定需要是可数集。需要注意的是，无穷维矩阵的乘法涉及到无穷级数求和，因此只有在相关的无穷级数收敛的时候，才能定义矩阵的乘积[64]。无限维矩阵也可以是方块矩阵，定义为行标记集合与列标记集合相同的矩阵（如${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$）[65]。

无限矩阵无法定义通常意义上的行列式，因此可逆矩阵不一定是方块矩阵，同理，酉矩阵也不一定要是方块矩阵[66]。

空矩阵是指行数或列数为零的矩阵。空矩阵的定义可以完善一些关于零维空间的约定。包括约定一个矩阵与空矩阵相乘得到的也是空矩阵，两个${\displaystyle n\times 0}$和${\displaystyle 0\times p}$的空矩阵相乘是一个${\displaystyle n\times p}$的零矩阵（所有元素都是零的矩阵）。0×0的空矩阵的行列式约定为1，所以它也可以有逆矩阵，约定为它自己[67]。

分塊矩陣是指一個大矩陣分割成“矩陣的矩陣”。舉例，以下的矩陣

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&2&3&2\\1&2&7&5\\4&9&2&6\\6&1&5&8\end{bmatrix}}}$

可分割成4個2×2的矩陣

${\displaystyle P_{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&2\end{bmatrix}},P_{12}={\begin{bmatrix}3&2\\7&5\end{bmatrix}},P_{21}={\begin{bmatrix}4&9\\6&1\end{bmatrix}},P_{22}={\begin{bmatrix}2&6\\5&8\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{bmatrix}}}$。将矩阵分块可以使得矩阵结构清晰，在某些时候可以方便运算、证明。两个大小相同、分块方式也相同的矩阵可以相加。行和列的块数符合矩阵乘法要求时，分块矩阵也可以相乘。将矩阵分块相乘的结果与直接相乘是一样的。用分块矩阵求逆，可以将高阶矩阵的求逆转化为多次低阶矩阵的求逆[68]。