双摆
双摆是将一根单摆连接在另一个单摆的尾部所构成的系统。双摆同时拥有着简单的构造和复杂的行为。高能量双摆的摆动轨迹表现出对于初始状态的极端敏感。两个初始状态差异极小的双摆在一段时间的运行后表现非常不同,是一种具有混沌性质的简单动力系统[1][2]。
分析以及詮釋
可以考慮許多不同種類的双摆:二個擺的長度及重量可能相同,也可能不同。二個擺可能都是單擺,也有可能是複擺(compound pendulum),其運動可能限制在二維空間,也可以在三維空間內進行。在以下的分析中,二個擺的擺長l及質量都相同m,運動限制在二維空間內。
複擺的質量假設是延著其長度均勻分佈,則其複擺的質心是在中點,複擺的臂對中點的轉動慣量為I = 112ml2。
比較方便定義系統位形空间的方式是用複擺臂和垂直線之間的夾角為廣義座標。角度名稱為θ1及θ2。二桿質心的位置可以用二個座標表示。若笛卡尔坐标系的原點是在第一個擺(最上方擺)的固定點,則其第一個擺的質心在:
第二個擺的質心在:
上述資訊已經可以建立拉格朗日量(Lagrangian)。
混沌運動
双摆的運動是混沌運動,且對初始條件非常敏感。右圖是雙擺在不同初始條件下,是否會翻倒(成為倒擺)的圖。其θ1初始值的範圍是在x方向的−3到3,而θ2初始值的範圍是在y方向的−3到3。點的顏色說明擺在以下時間內會翻倒:
- 10√l⁄g(綠色)
- 100√l⁄g(紅色)
- 1000√l⁄g(紫色)or
- 10000√l⁄g (blue).
若在10000√l⁄g時間後,仍然不會翻倒,其顏色為白色。
中心白色區域的邊界可以依能量守恆推得,為以下的曲線:
因此若
以能量的關係,双摆不可能翻倒。在此區域外,以能量來說,双摆有可能翻倒,但是否會翻倒本身是很複雜的問題。若雙擺的末端是點質量,不是質量均勻分佈的桿子,情形類似[3]。
雙擺沒有自然共振頻率,因此可用在大樓抗震設計的雙擺系統中,大樓本身是主要的倒擺,而上面又有一個質量,形成倒雙擺。
参考資料
- 『機械工学辞典』 日本機械学会、丸善、2007年1月20日、第2版、966頁。ISBN 978-4-88898-083-8。
- Levien RB and Tan SM. Double Pendulum: An experiment in chaos.American Journal of Physics 1993; 61 (11): 1038
- Alex Small, Sample Final Project: One Signature of Chaos in the Double Pendulum, (2013). A report produced as an example for students. Includes a derivation of the equations of motion, and a comparison between the double pendulum with 2 point masses and the double pendulum with 2 rods.
- Meirovitch, Leonard. 2nd. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. 1986. ISBN 0-07-041342-8.
- Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and "Double Pendulum" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).
- Peter Lynch, Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)
- Northwestern University, Double Pendulum, (Java applet simulation.)
- Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).
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