反正弦

反正弦的符號是${\displaystyle \arcsin }$，也常常計作${\displaystyle \sin ^{-1}}$，但這樣其實是不明確的，因為，可能會和指數混淆，以致於被當成倒數，但是倒數也有自己的寫法，例如${\displaystyle \sin }$倒數是${\displaystyle \csc }$，因此不易和${\displaystyle \sin ^{-1}}$混淆。另外在某些電算器的按鍵或電腦的編程語言中，反正弦會以asin或asn表示。

原始的定義是將正弦函數限制在${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$的反函數，得到如下定義域和值域：

${\displaystyle \arcsin$ :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}

利用自然對數可將定義推廣到整個複數集：

${\displaystyle \arcsin x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\mathrm {i} }x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}$

拓展到複數的反正弦函數

他的微分是：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{k=0}^{\infty }{-{\frac {1}{2}} \choose k}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {3}{40}}x^{5}+{\frac {5}{112}}x^{7}+\cdots }$.

由於對稱關係保持負的參數，根據定義的奇函數，存在如下等式： ${\displaystyle \arcsin \left(-x\right)=-\arcsin x}$

另外，反正弦的和差也可以核定成一個反正弦來表達：

${\displaystyle \arcsin x_{1}\pm \arcsin x_{2}={\begin{cases}X&\pm x_{1}x_{2}\leq 0\lor x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\\\pi -X&x_{1}>0\land \pm x_{2}>0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\\-\pi -X&x_{1}<0\land \pm x_{2}<0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\end{cases}}}$

con ${\displaystyle X=\arcsin \left(x_{1}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\pm x_{2}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}\right)}$

和差公式：

${\displaystyle \arcsin(x\pm y)=\arcsin \left({\sqrt {\frac {1+x^{2}-y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)\pm \arcsin \left({\sqrt {\frac {1-x^{2}+y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)}$

倍變數公式： ${\displaystyle \arcsin(2x)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-4x^{2}}}}{2}}}\right)}$

${\displaystyle \arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{4}}}}}{2}}}\right)}$

${\displaystyle \arcsin(kx)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}{2}}}\right)}$

per 0 ≤ kx ≤ 1

${\displaystyle \arcsin(sinx)={\begin{cases}-(X+\pi )&x\in [-\pi ,-{\frac {\pi }{2}}]\\X&x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})\\\pi -X&x\in [{\frac {\pi }{2}},\pi ]\end{cases}}}$

• 正弦