向量值微分形式

与通常的形式一样，对向量值形式我们可以定义通过光滑映射的拉回。N 上 E-值形式通过一个光滑映射 φ : M → N 的拉回是 M 上一个 (φ*E)-值形式，这里 form on M, where φ*E 是 E 通过 φ 的拉回丛。

公式和通常的情形一样。对 N 上任何一个 E-值 p-形式 ω， 拉回 φ*ω 由

${\displaystyle (\varphi ^{*}\omega )_{x}(v_{1},\cdots ,v_{p})=\omega _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{1}),\cdots ,\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{p}))}$

给出。

与通常微分形式一样，可以定义向量值形式的楔积。一个 E₁-值 p-形式与一个 E₂-值 q-形式的楔积是一个自然的 (E₁⊗E₂)-值 (p+q)-形式:

${\displaystyle \wedge$ :\Omega ^{p}(M,E_{1})\times \Omega ^{q}(M,E_{2})\to \Omega ^{p+q}(M,E_{1}\otimes E_{2}).}

定义就和通常的微分形式一样，只不过实数乘法为张量积取代：

${\displaystyle (\omega \wedge \eta )(v_{1},\cdots ,v_{p+q})={\frac {1}{p!q!}}\sum _{\pi \in S_{p+q}}\operatorname {sgn}(\pi )\omega (v_{\pi (1)},\cdots ,v_{\pi (p)})\otimes \eta (v_{\pi (p+1)},\cdots ,v_{\pi (p+q)}).}$

特别地，一个通常（R-值）p-形式与一个 E-值 q-形式的张量积自然是一个 E-值 (p+q)-形式（因为 E 与平凡丛 M × R 的张量积自然同构于 E）。对 ω ∈ Ω^p(M) 和 η ∈ Ω^q(M, E) 我们有通常的交换关系：

${\displaystyle \omega \wedge \eta =(-1)^{pq}\eta \wedge \omega .}$

一般地，两个 E-值形式的楔积不是另一个 E-值形式，而是一个 (E⊗E)-值形式。但是，如果 E 是一个代数丛（也就是一个代数的丛而不仅仅是向量空间）则与 E 中的乘法复合得到一个 E-值形式。如果 E 是一个交换结合代数，则在此修改后的楔积下，所有 E-值微分形式的集合

${\displaystyle \Omega (M,E)=\bigoplus _{p=0}^{\dim M}\Omega ^{p}(M,E)}$

成为一个分次交换结合代数。如果 E 的纤维不交换则 Ω(M,E) 不是分次交换的。

对任何向量空间 V，V-值微分形式上有一个自然的外导数。这只不过是通常的外导数作用在关于 V 的任何一个基的分量上。具体地说，如果 {e_α} 是 V 的一个基，则 V-值 p-形式 ω = ω^αe_α 的微分为：

${\displaystyle d\omega =(d\omega ^{\alpha })e_{\alpha }.\,}$

V-值形式的外导数完全由通常的关系刻画：

${\displaystyle {\begin{aligned}&d(\omega +\eta )=d\omega +d\eta \\&d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta \qquad (p=\deg \omega )\\&d(d\omega )=0.\end{aligned}}}$

更一般地，上面的注可应用于 M 上任何平坦向量丛（即一个转移函数是常数的向量丛） E 之 E-值形式。上面定义的外微分是 E 的任何局部平凡化。

如果 E 不是平坦的则 E-值形式上没有自然的外微分。需要在 E 上选取一个联络。E 上一个联络是一个将 E 的界面变为 E-形式的线性微分算子：

${\displaystyle \nabla$ :\Omega ^{0}(M,E)\to \Omega ^{1}(M,E).}

如果 E 装备有一个联络 ∇，则有惟一的一个共变外微分延拓了 ∇

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{p}(M,E)\to \Omega ^{p+1}(M,E).\,}$

共变外微分由线性与等式

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \wedge \eta )=d_{\nabla }\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta }$

刻画，这里 ω 是一个 E-值 p-形式而η 是一个通常的 q-形式。一般地，不一定有 d_∇² = 0。事实上，这当且仅当联络 ∇ 平坦（即曲率消失）。