四元群

這裡,1是單位元素,(−1)2 = 1且對每個Q內的a,(−1)a = a(−1) = −a。剩下的乘法律能由下列的關係獲得:

Q環圖。每一種顏色代表連結至單位元(1)之任一元素的次方。例如,紅色的環反映了i2=−1、i3=−ii4=1的事實。紅環亦反映了(−i)2=−1、(−i)3=i和(−i)4=1之事實。

群論裡,四元群是指一個8目的不可換。它常被標示為Q,且被寫成乘法的形式,以下列的8個元素

Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}

Q凱萊表如下:

1ijk−1−i−j−k
1 1ijk−1−i−j−k
i i−1k−j−i1−kj
j j−k−1i−jk1−i
k kj−i−1−k−ji1
−1 −1−i−j−k1ijk
−i −i1−kji−1k−j
−j −jk1−ij−k−1i
−k −k−ji1kj−i−1

需注意的是,此一群為非可換的;如ij=−jiQ有著漢彌爾頓群較不常見的性質:每一個Q子群都是其正規子群,但這個群不是可換的。每一個漢彌爾頓群都會含有一個或多個Q

抽象代數裡,可以造出一個其基底為{1,i,j,k}的實四維向量空間,且使用上面的乘法表和分配律來形成一個結合代數。其即為一個稱為四元數除環。需注意的是,這並不是在Q上的群代數(其應該是8維的)。相反地,亦可以先由四元數開始,再「定義」出由八個元素{1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}所組成之乘法子群做為四元群。

ijk都是Q內4目的元素且選定其中任兩個都可以產生出整個群來。Q有著下列的展現

其中可以取成i=xj=yk=xy

Q中心交換子群為{±1}。其商群 Q/{±1}會同構克萊因四元群VQ內自同構群會同構於Q同餘其中心,且因此也會同構於克萊因四元群。Q的全自同構群會同構於對稱群S4Q外自同構群因此為S4/V,其會同構於S3

四元群Q亦可視為是作用於在有限體GF(3)上之二維向量空間的八個非零元素。關於其圖像,請見圖像化GL(2,p)页面存档备份,存于

廣義四元群

一個群若被稱為廣義四元群,則表示其有一個展現

其中n為大於3的整數。此一群的目為2n。原本的四元群為n=3時的特例。廣義四元群可以被理解為單位四元數的子群,其產生子為

廣義四元群是雙循環群此一更大類型的一類。廣義四元群有著每個可換子群都是循環的性質。可證明一具有此性質(每個可換子群都是循環的)之有限p-群若不是循環群就是廣義四元群。

另見

  • 四元數
  • 克萊因四元群
  • 雙循環群
  • 赫爾維茨四元數
  • 十六胞
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