四元群
這裡,1是單位元素,(−1)2 = 1且對每個Q內的a,(−1)a = a(−1) = −a。剩下的乘法律能由下列的關係獲得:
在群論裡,四元群是指一個8目的不可換群。它常被標示為Q,且被寫成乘法的形式,以下列的8個元素
- Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}
Q的凱萊表如下:
1 | i | j | k | −1 | −i | −j | −k | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | i | j | k | −1 | −i | −j | −k |
i | i | −1 | k | −j | −i | 1 | −k | j |
j | j | −k | −1 | i | −j | k | 1 | −i |
k | k | j | −i | −1 | −k | −j | i | 1 |
−1 | −1 | −i | −j | −k | 1 | i | j | k |
−i | −i | 1 | −k | j | i | −1 | k | −j |
−j | −j | k | 1 | −i | j | −k | −1 | i |
−k | −k | −j | i | 1 | k | j | −i | −1 |
需注意的是,此一群為非可換的;如ij=−ji。Q有著漢彌爾頓群較不常見的性質:每一個Q的子群都是其正規子群,但這個群不是可換的。每一個漢彌爾頓群都會含有一個或多個Q。
在抽象代數裡,可以造出一個其基底為{1,i,j,k}的實四維向量空間,且使用上面的乘法表和分配律來形成一個結合代數。其即為一個稱為四元數的除環。需注意的是,這並不是在Q上的群代數(其應該是8維的)。相反地,亦可以先由四元數開始,再「定義」出由八個元素{1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}所組成之乘法子群做為四元群。
i、j和k都是Q內4目的元素且選定其中任兩個都可以產生出整個群來。Q有著下列的展現
其中可以取成i=x、j=y及k=xy。
Q的中心及交換子群為{±1}。其商群 Q/{±1}會同構於克萊因四元群V。Q的內自同構群會同構於Q同餘其中心,且因此也會同構於克萊因四元群。Q的全自同構群會同構於對稱群S4。Q的外自同構群因此為S4/V,其會同構於S3。
四元群Q亦可視為是作用於在有限體GF(3)上之二維向量空間的八個非零元素。關於其圖像,請見圖像化GL(2,p)页面存档备份,存于。
廣義四元群
一個群若被稱為廣義四元群,則表示其有一個展現
其中n為大於3的整數。此一群的目為2n。原本的四元群為n=3時的特例。廣義四元群可以被理解為單位四元數的子群,其產生子為
廣義四元群是雙循環群此一更大類型的一類。廣義四元群有著每個可換子群都是循環的性質。可證明一具有此性質(每個可換子群都是循環的)之有限p-群若不是循環群就是廣義四元群。
另見
- 四元數
- 克萊因四元群
- 雙循環群
- 赫爾維茨四元數
- 十六胞