交換律

結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。

對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數，則此一函數會對 ${\displaystyle y=x}$ 這條線對稱。舉例來說，若設一函數 ${\displaystyle f}$ 來表示加法（一可交換運算），所以 ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$ ，也因此 ${\displaystyle f}$ 會是個如右圖所見的對稱函數。

• 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。
• 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。

顯現出乘法 ( ${\displaystyle 5\times 3=3\times 5}$ ) 的交換律的一個例子

兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為[12]：

• 實數的加法

${\displaystyle y+z=z+y\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }$

例如， ${\displaystyle 4+5=5+4}$ ，兩個表示式都等於 9 。

• 實數的乘法

${\displaystyle yz=zy\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }$

例如， ${\displaystyle 3\times 5=5\times 3}$ ，兩者都等於 15 。

• 更多可交換二元運算的例子包括複數的乘法、向量的加法、和集合的交集與聯集。

串接（將字串連在一起的行為）是個不可交換運算。

• 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
• 魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。

一些不可交換二元運算[13]有：

• 減法： ${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$ ，不過可將其減法符號轉換成加上其相反數，即可使用交換律。
• 除法： ${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$，可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。
• 矩陣乘法：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

• Axler, Sheldon. . Springer. 1997. ISBN 978-0-387-98258-8.

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

• Goodman, Frederick. . Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8.

Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

• Gallian, Joseph. . 2006. ISBN 978-0-618-51471-7.

Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

• https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.

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Definition of commutativity and examples of commutative operations

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Explanation of the term commute

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Article giving the history of the real numbers

• Cabillón, Julio and Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 8 August 2007

Page covering the earliest uses of mathematical terms

• O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor biography of François Servois页面存档备份，存于, Accessed 8 August 2007

Biography of Francois Servois, who first used the term