四維加速度
慣性座標系中的四維加速度
在狹義相對論的慣性座標系中,四維加速度定義為四維速度對一移動物體之原時的微分,也就是說
- ,
其中
- ,應用到三維加速度與三維速度;
以及
應用到速度()下的勞侖茲因子。變數上方的點代表對本參考系座標時間的微分,而非對物體原時的微分。也就是說)。
在與該物體瞬時共同移動的慣性座標系中, 以及。亦即在這樣的參考系中,
- 。
幾何學上來看,四維加速度是移動物體世界線的曲率向量。[2][3]
因此四維向量的大小(乃一純量)等同於物體沿世界線移動所「感受」到的固有加速度。
四維加速度與四維力之間有著簡單的關係式:
其中m是物體的不變質量。
當四維力為零,則僅只重力現象影響物體的軌跡,與牛頓第二運動定律相應的四維向量版本簡化為測地線方程式。依測地線移動的物體,其四維加速度為零;這表示重力其實不是一種力,而是受到扭曲的時空幾何。相應地,在牛頓力學,重力被當作一種力,其作用以三維加速度處理。
非慣性座標系中的四維加速度
非慣性座標系,包括了狹義相對論中的加速座標系以及廣義相對論中的任意座標系。在這樣的座標系情況下,四維加速度為四維速度對原時的絕對導數:
慣性座標系中,克里斯多福符號皆為零,所以此式還原成上一節的式子。
值得注意的是:克里斯多福符號是在採用直角座標的慣性系中為零。若選用彎曲座標系以描述加速運動,則克里斯多福符號不全為零。
參考文獻
- Tsamparlis M. Online. Springer Berlin Heidelberg. 2010: 185. ISBN 978-3-642-03837-2.
- Pauli W. 1981 Dover. B.G. Teubner, Leipzig. 1921: 74. ISBN 978-0-486-64152-2.
- Synge J.L.; Schild A. 1978 Dover. University of Toronto Press. 1949: 149, 153 and 170. ISBN 0-486-63612-7.
- Papapetrou A. . D. Reidel Publishing Company. 1974. ISBN 90-277-0514-3.
- Rindler, Wolfgang. . Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5.
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