牛頓第二運動定律

牛頓第二定律表明，施加於物體的外力等於此物體動量的時變率：

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {p} }$是動量，${\displaystyle t}$是時間。

由於動量等於質量乘以速度，所以，假若質量不變，則可得到加速度形式的牛頓第二定律，假若質量隨著時間流易而改變，則該系統為可變質量系統，必須將時變質量納入考量，更多內容，請參閱可變質量系統。

艾薩克·牛頓 （1643–1727）

原版第二定律的英文翻譯為：

「motion」是「quantity of motion」的簡稱，在這裏指的是物體的動量。「impressed force」指的是衝量。[6][7]整個句子翻譯為：

牛頓對於動量與衝量彼此之間的關係的作解釋：「假設施加於物體的衝量造成了物體的動量改變，則雙倍的衝量會造成雙倍的動量改變，三倍的衝量會造成三倍的動量改變，不論衝量是全部同時施加，還是一部分一部分慢慢地施加，所造成的動量改變都一樣。

動量改變與原先動量之間的關係：這動量改變必定與施加的衝量同方向。假設在衝量施加之前，物體已具有某動量，則這動量改變會與原先動量相加或相減，依它們是同方向還是反方向而定，假設動量改變與原先動量呈某角度，則最終動量是兩者按著角度合成的結果。」

牛頓所使用的術語的涵意、他對於第二定律的認知、他想要第二定律如何被眾學者認知、以及牛頓表述與現代表述之間的關係，科學歷史學者對於這些論題都已經做過廣泛地研究與討論。[註 2]

任何物理定律都必須具有可证伪性，即必須能夠對於物理定律做實驗證實是否正確。[8]為了要明確牛頓第二定律是否具有可证伪性，必須對於加速度、力與質量做測量。測量加速度很簡單，加速度是速度的時間變率，只要能測得速度改變與時間間隔，則可計算出加速度。然而，怎樣測量力與質量？力與質量的定義為何？怎樣在定義裡給出物理量的量度程序？[9][10]

在對於質量與力給出定義後，按照這些定義裡的定量描述來測量物體的質量與物體的受力，再加上從觀測物體的運動得到的加速度，就可以很容易地檢試牛頓第二定律的正確性。

力的定義

很多常用教科書對於力的定義不盡人意。在大衛·哈勒代與羅伯特·瑞思尼克著作的教科書《基礎物理》裡，力被定義為造成物體加速的作用。類似地，在《大學物理》教科書裡，力也被定義為兩個物體之間或物體與環境之間的作用。但是，它們都沒有對於「作用」給出解釋。保羅·提泊羅在《科學家與工程師的物理》教科書裡，將力定義為造成物體改變速度的影響。那麼，「影響」又是甚麼呢？在道格拉斯·基安可理撰寫的教科書裡，力的定義是可以直覺地被人們體驗為對於物體的「推」或「拉」。可是，作者並未進一步解釋推或拉怎樣改變物體的運動狀態。這些概念性定義都無法對於力這基礎術語用更為基礎的概念來表達。[11]

應用槓桿原理，可以實現對於標準單位力的任意分數倍。如上圖所示，當${\displaystyle F_{1}}$是${\displaystyle F_{2}}$的三分之一時，槓桿會呈靜態平衡狀態。[12]

懸掛於兩條特定彈簧的一個物體，正好能夠將這兩條特定彈簧延伸特定距離，則這物體的重量${\displaystyle \mathbf {W} }$等於兩個標準單位力${\displaystyle \mathbf {F} _{0}}$。[13]

古斯塔夫·基爾霍夫首先提議，將力定義為質量與加速度的乘積。[14][註 3]按照這提議，第二定律只是一個數學定義式，而不是自然定律。假若第二定律只是一個數學定義式，則它在物理學裡毫無用處，因為無法從數學定義式對於大自然給出任何預測。整個經典力學會變成一種公理化理論，所有結論都是源自於這個定義，而不是源自於從做實驗推斷出的「自然定律」。實際而言，這提議沒有將在大自然裏各種各樣的力，像彈力、引力、電磁力等，納入考量，它忽略了每一種力的獨特性質，例如，每一種力都有它的物質源。假若要將實際物理引入這公理化理論，則必須檢試對於力的定義所推導出的結果是否符合實際物理，只有符合實際物理的定義才可被採納，換句話說，從對於力的定義所推導出的結果必須符合實驗的檢試，否則不能被採納。[16] [8][17]

有些學者主張使用操作定義的方法來對於力給出嚴格定義，假設兩條同樣的彈簧被延伸同樣的距離，其各自產生的「彈力」（一種物理現象）相等，則將這兩條彈簧並聯，可以製成兩倍的彈力，又將一物體的兩邊分別連接這兩條彈簧的末端，使彈力方向相反，則作用於物體的合力為零，物體的運動狀態不會改變。為了對於彈力給出定量描述，設定「標準單位力」為某特定彈簧延伸特定距離所產生的彈力。稱這特定彈簧為「標準彈簧」。任意整數倍的標準單位力都可以用幾條標準彈簧所組成的系統來實現，對於標準單位力的任意分數倍，可以應用阿基米德的槓桿原理來實現。彈簧系統可以用來做測量實驗，對於任意力做比較，給出它的測量值。例如，假設懸掛於兩條標準彈簧的一個物體，正好能夠將這兩條標準彈簧延伸特定距離，則這物體的重量等於兩個標準單位力。[16][6][12][13]

1983年，莫德采·米爾格若姆提出的修正牛頓動力學理論表明，由於星系自轉問題，即被觀測到的在星系裡恆星的速度大於牛頓力學的預測速度，牛頓萬有引力定律或牛頓第二定律可能需要修正。[26]除了暗物質理論以外，修正牛頓動力學理論也可以用來解釋星系自轉問題。 這理論的適用區域大約在加速度為${\displaystyle a_{0}\approx 2\times 10^{-10}\;\mathrm {m/s^{2}} }$的數量級。為了符合天文物理學數據，這理論將牛頓第二定律修改為[27]

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \ \mu (a/a_{0})}$；

其中，${\displaystyle \mu (a/a_{0})}$是個函數，其符合以下兩個條件：

• 當${\displaystyle a\gg a_{0}}$時，${\displaystyle \mu (a/a_{0})\to 1}$。
• 當${\displaystyle a\ll a_{0}}$時，${\displaystyle \mu (a/a_{0})\to 0}$。

一般而言，在各種物理案例中，很少會遇到這麼微小的加速度，然而，假若修正牛頓動力學理論確實被證實，則整個經典力學與廣義相對論都需要被修改。因此，驗證修正牛頓動力學理論是很重要的實驗研究論題。

1986年，使用干涉儀測量擺質量的加速度對於時變電場的響應，物理學者證實，在加速度為${\displaystyle 3\times 10^{-11}\;\mathrm {m/s^{2}} }$的狀況下，牛頓第二定律仍舊有效。2007年，使用扭擺來表現對於時變電場的響應，實驗證實，在加速度為${\displaystyle 5\times 10^{-14}\;\mathrm {m/s^{2}} }$的狀況下，牛頓第二定律正確無誤。2011年，物理學者做實驗測量微波共振器對於引力作用的響應，但並未在加速度為${\displaystyle 10^{-10}\;\mathrm {m/s^{2}} }$的狀況下找到任何偏差。2014年，使用紐秤來量度引力引起的加速度，物理學者在加速度為${\displaystyle 10^{-12}\;\mathrm {m/s^{2}} }$的狀況下仍未發現任何偏差。[27][28]

假設施加外力 ${\displaystyle \mathbf {F} }$ 於某物體的時間有 ${\displaystyle \Delta t}$ 那麼久，則這等於施加衝量 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 於此物體：[29]

${\displaystyle \mathbf {J} =\int _{\Delta t}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t}$ 。

根據現代的第二定律，

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$ 。

經過 ${\displaystyle \Delta t}$ ，假定質量不變，動量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ 的改變為

${\displaystyle \Delta \mathbf {p} =m\Delta \mathbf {v} =m\int _{\Delta t}\mathbf {a} \,\mathrm {d} t=\int _{\Delta t}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t}$ 。

所以，衝量與動量之間的關係式為

${\displaystyle \mathbf {J} =\Delta \mathbf {p} }$ 。

這就是原版第二定律。[30]

衝量的概念時常被用來分析碰撞與撞擊問題。[31]

火箭的燃料經過燃燒以後，會產生高溫高壓氣體，經過加速排氣到外界，就可以推動火箭前進。第二定律不能直接應用於這種可變質量系統。基本而言，第二定律只能應用於單獨粒子（或理想化為粒子的物體），其質量守恆。對於多粒子系統案例，必需將第二定律加以延伸為[32]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(M\mathbf {v} _{\mathrm {cm} })}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }}$ 是施加於系統的淨外力，${\displaystyle \mathbf {p} }$ 是系統的動量，${\displaystyle M}$ 是系統的總質量，${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {cm} }}$ 是系統質心的速度。

假設淨外力${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }}$為零，則動量守恆，即最初動量${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$等於最終動量${\displaystyle \mathbf {p} _{f}}$：

${\displaystyle \mathbf {p} _{i}=\mathbf {p} _{f}}$。

假設在時間在時間${\displaystyle t}$與${\displaystyle t+\mathrm {d} t}$之間，火箭的質量從${\displaystyle m}$變為${\displaystyle m+\mathrm {d} m}$，即質量為${\displaystyle -\mathrm {d} m}$的燃料被燃燒與排出，燃料排出時的速度為${\displaystyle \mathbf {U} }$，火箭的速度從${\displaystyle \mathbf {v} }$變為${\displaystyle \mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} }$，那麼，動量守恆方程可以寫為[33]

${\displaystyle m\mathbf {v} =(m+\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )-\mathbf {U} \mathrm {d} m}$。

注意到火箭速度${\displaystyle \mathbf {v} }$與燃料速度${\displaystyle \mathbf {U} }$都是從發射台參考系觀測到的速度。那麼，相對於火箭參考系．燃料排出的相對速度${\displaystyle \mathbf {v} _{rel}}$為

${\displaystyle \mathbf {v} _{rel}=\mathbf {U} -\mathbf {v} -\mathrm {d} \mathbf {v} }$。

經過一番運算，可以得到

${\displaystyle \mathbf {v} _{rel}{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}}$。

對於像火箭一類的可變質量系統，必需將第二定律的方程式添加一個項目，這項目專門計算進入或離開火箭的質量所帶有的動量：[34]

${\displaystyle \mathbf {F} _{ext}+\mathbf {v} _{rel}{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {F} _{ext}}$ 是施加於火箭的外力，例如地球施加於火箭的重力。

火箭的推力定義為

${\displaystyle \mathbf {F} _{t}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {v} _{rel}{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$ 。

將這定義式代入，可以得到

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

其中，${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{ext}+\mathbf {F} _{t}}$ 是外力與推力的向量和。

• 伊萨克·牛顿
• 牛頓運動定律
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  • 牛頓第三運動定律
• 物理学定律列表

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