四维凸正多胞体
在数学中，四维凸正多胞体（英語：）是指一类既是凸的又是正的的四维多胞体（4-多胞形）。它们是正多面体（三維）和正多边形（二维）的四维类比。它们最先在19世纪被数学家路德维希·施莱夫利所发现，其中五个与五个柏拉图立体一一对应，另外一个（正二十四胞体）没有好的三维类比。
超立方体是6个四维凸正多胞体之一
特性
下面的表格描述了六个四维凸正多胞体的基本特性，表格的最后一列给出了它们所属的考克斯特群，形象化描述了它们在一系列镜面反射中的抽象群；及这个群的阶。
| 名称 | 家族 | 施莱夫利 符号 | 顶点 | 边 | 面 | 胞 | 顶点图 | 对偶 | 对称群 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正五胞体 超棱锥 超正四面体 四维单纯形 | 单纯形 （n-单纯形） | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 正三角形 | 5 正四面体 | 正四面体 | （自身对偶） | A4 | 120 |
| 正八胞体 超正方体 超立方体 四维立方体 | 立方形 （n-立方形） | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 正四边形 | 8 正六面体 | 正四面体 | 正十六胞体 | B4 | 384 |
| 正十六胞体 超正八面体 四维正轴形 | 正轴形 （n-正轴形） | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 正三角形 | 16 正四面体 | 正八面体 | 正八胞体 | B4 | 384 |
| 正二十四胞体 截半正十六胞体 重正八面体 | （沒有好的其他維度類比） | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 正三角形 | 24 正八面体 | 正六面体 | （自身对偶） | F4 | 1152 |
| 正一百二十胞体 超正十二面体 重正十二面体 | 正十二面体形 正五边形形 （n-正五边形形） | {5,3,3} | 600 | 1200 | 720 正五边形 | 120 正十二面体 | 正四面体 | 正六百胞体 | H4 | 14400 |
| 正六百胞体 重正四面体 超正二十面体 | 正二十面体形 正五边形形 （n-正五边形形） | {3,3,5} | 120 | 720 | 1200 正三角形 | 600 正四面体 | 正二十面体 | 正一百二十胞体 | H4 | 14400 |
这6个四维凸正多胞体都是表面与三维球面（S3）同胚的单连通多胞体，所以它们的欧拉示性数都为0，因此我们有以下欧拉公式的四维类比：
其中代表零维顶点数，代表一维棱数，代表二维面数，代表三维胞数。
可视化
以下的表格展示了6个四维凸正多胞体的多种二维投影（更多图像可以在各自的页面里找到）。表头给出了多胞体的施莱夫利符号和考克斯特符號。
| 正五胞体 | 正八胞体 | 正十六胞体 | 正二十四胞体 | 正一百二十胞体 | 正六百胞体 |
|---|---|---|---|---|---|
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
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| 皮特里多边形正对的正交线架投影. | |||||
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| 三维固体填充正交投影 | |||||
 正四面体 凸包 （胞在前／顶点在前） |
 立方体凸包 （胞在前） |
 立方体凸包 （胞在前） |
 截半立方体 凸包 （胞在前） |
 截顶菱形 三十面体 凸包 （胞在前） |
 五角化截半 十二面体 凸包 （顶点在前） |
| 线架施莱格尔投影（透视投影） | |||||
 （胞在前） |
 （胞在前） |
 （胞在前） |
 （胞在前） |
 （胞在前） |
 （顶点在前） |
| 线架球极投影（四维超球球极投影） | |||||
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参考
- H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd ed., John Wiley & Sons Inc., 1969. ISBN 0-471-50458-0.
- H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.
- D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes
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